Następnik liczby kardynalnej

Następnik liczby kardynalnej – operacja zdefiniowana dla liczb kardynalnych, podobnie jak następnik liczby porządkowe, w taki sposób, że pomiędzy daną liczbą kardynalną $\kappa$ a jej następnikiem ${\kappa }^{+}$ nie ma innych liczb kardynalnych.

Operację następnika dla liczb kardynalnych definiuje się następująco:

${\kappa }^{+}=\{\alpha \in ON\mid |\alpha |⩽\kappa \},$

gdzie $ON$ oznacza klasę wszystkich liczb porządkowych.

Można łatwo udowodnić, że ${\kappa }^{+}$ jest liczbą porządkową i ${\kappa }^{+}$ jest najmniejsza spośród liczb porządkowych o mocy większej od $\kappa .$

Następnik liczby ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ nazywamy ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ (gdzie symbol $+$ oznacza dodawanie liczb porządkowych). Na przykład $({\mathrm{\aleph }}_0{)}^{+}={\mathrm{\aleph }}_1$ i $({\mathrm{\aleph }}_1{)}^{+}={\mathrm{\aleph }}_2.$

Uwaga: Każda liczba kardynalna jest także liczbą porządkową, więc ma dwa następniki – jeden w sensie liczb kardynalnych, a drugi w sensie liczb porządkowych. Na przykład następnik liczby kardynalnej ${\mathrm{\aleph }}_0$ to ${\mathrm{\aleph }}_1$ (= następna liczba kardynalna), a następnik liczby porządkowej $\omega$ to $\omega +1$ (= następna liczba porządkowa).

Liczba kardynalna, która nie jest następnikiem żadnej innej liczby kardynalnej, nazywana jest liczbą kardynalną graniczną. Na przykład ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }:=\sup \{{\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,\dots \}$ jest pierwszą nieprzeliczalną graniczną liczbą kardynalną.