PFA (aksjomat)

Szablon:Spis treści PFA (z Szablon:Ang.) – aksjomat forsingowy używany w teorii mnogości, topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych porządków częściowych.

Definicje formalne

Pojęcia wstępne

Niech $\mathbb{P}=(\mathbb{P},⩽)$ będzie pojęciem forsingu.

• Powiemy, że zbiór $G\subseteq \mathbb{P}$ jest filtrem w $\mathbb{P}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $G\ne \varnothing ,$

(ii) jeśli $p,q\in \mathbb{P},$ $q⩽p$ oraz $q\in G,$ to również $p\in G,$

(iii) jeśli $p,q\in G,$ to można znaleźć $r\in G$ taki że $r⩽p$ oraz $r⩽q.$

• Zbiór $I\subseteq \mathbb{P}$ jest gęstym podzbiorem $\mathbb{P}$ jeśli $(\mathrm{\forall }p\in \mathbb{P})(\mathrm{\exists }q\in I)(q⩽p).$
• Niech $\chi$ będzie regularną liczbą kardynalną a $\mathscr{H}(\chi )$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi .$ Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $(\mathscr{H}(\chi ),\in )$ takim, że $\mathbb{P}\in N.$ Powiemy, że warunek $q\in \mathbb{P}$ jest warunkiem $(N,\mathbb{P})$-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq \mathbb{P},$ który należy do modelu $N$ mamy:

dla każdego $r\in A,$ jeśli $r,q$ są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki $r,q$ są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek $s\in \mathbb{P}$ silniejszy niż oba te warunki.)

• Pojęcie forsingu $\mathbb{P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $\chi$ istnieje $x\in \mathscr{H}(\chi )$ taki, że:

jeśli $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $(\mathscr{H}(\chi ),\in ),$ $\mathbb{P},x\in N$ oraz $p\in \mathbb{P}\cap N,$

to istnieje warunek $q⩽p$ który jest $(N,\mathbb{P})$-generyczny.

PFA i BPFA

PFA oznacza następujące zdanie:

jeśli pojęcie forsingu $\mathbb{P}$ jest proper, $ℐ$ jest rodziną gęstych podzbiorów $\mathbb{P}$ oraz $|ℐ|⩽{\mathrm{\aleph }}_1,$

to istnieje filtr $G\subseteq \mathbb{P},$ który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z $ℐ$ (tzn. $(\mathrm{\forall }D\in ℐ)(D\cap G\ne \varnothing )$).

BPFA jest następującym zdaniem:

jeśli pojęcie forsingu $\mathbb{P}$ jest proper, $𝒜$ jest rodziną maksymalnych antyłańcuchów w zupełnej algebrze Boole’a $\mathrm{R}\mathrm{O}(\mathbb{P})$ wyznaczonej przez to pojęcie forsingu oraz zarówno $|𝒜|⩽{\mathrm{\aleph }}_1,$ jak i każdy antyłańcuch w rodzinie $𝒜$ jest mocy co najwyżej ${\mathrm{\aleph }}_1,$

to istnieje filtr $G\subseteq \mathrm{R}\mathrm{O}(\mathbb{P}),$ który ma niepusty przekrój z każdym antyłańcuchem z $𝒜$ (tzn. $(\mathrm{\forall }A\in 𝒜)(A\cap G\ne \varnothing )$).

Nazwa BPFA jest skrótem angielskiego zwrotu Bounded Proper Forcing Axiom.

Historia i niesprzeczność

• Idea forsingów proper i związanego z nimi aksjomatu forsingowego była stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. W 1978 w czasie wykładów w Berkeley przedstawił on po raz pierwszy ten koncept, w druku ukazał się on w 1980.
• W 1982, Szelach opublikował monografię przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.
• W 1995, Martin Goldstern i Saharon Szelach wprowadzają BPFA który zyskał sporą popularność w ostatnich latach (ze względu na słabsze założenia potrzebne aby wykazać jego niesprzeczność).

Podstawą do wykazania niesprzeczności PFA (czy też BPFA) jest twierdzenie Szelacha mówiące, że iteracja z przeliczalnym nośnikiem forsingów proper jest forsingiem proper (a więc nie kolapsuje ${\omega }_1$) Niestety, w iteracjach tego typu liczby kardynalne powyżej ${\mathrm{\aleph }}_1$ mogą być kolapsowane, jeśli więc chcemy przeiterować wszystkie możliwe forsingi proper to potrzebujemy dodatkowego narzędzia aby złapać swój własny ogon. Narzędziem tym jest zwykle diament Lavera związany z liczbą super-zwartą.

Twierdzenie [Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba super-zwarta” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+PFA” jest niesprzeczna.

Aksjomat BPFA wymaga znacznie słabszych założeń:

Twierdzenie [Goldstern-Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba Mahlo” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+BPFA” jest niesprzeczna.

(W tym ostatnim twierdzeniu trochę mniej niż istnienie liczby Mahlo jest wymagane; co więcej Goldstern i Szelach podali dokładną siłę niesprzeczności BPFA.)

Przykłady forsingów proper

• Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
• Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.
• Pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach są proper przy naturalnych warunkach.

Przykłady konsekwencji

Załóżmy PFA. Wówczas:

• $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}=2^{{\mathrm{\aleph }}_1}={\mathrm{\aleph }}_2,$
• MA,
• SCH,
• nie istnieją drzewa Kurepy,
• suma ${\mathrm{\aleph }}_1$ (s₀)-zbiorów Marczewskiego jest $(s_0)$-zbiorem.

Aby przedstawić kolejną konsekwencję PFA musimy wprowadzić następującą definicję. Powiemy, że podzbiór $A\subseteq ℝ$ prostej rzeczywistej jest ${\mathrm{\aleph }}_1$-gęsty w $ℝ$ jeśli dla każdego niepustego przedziału otwartego $P\subseteq ℝ$ mamy, że $|A\cap P|={\mathrm{\aleph }}_1.$

• Zakładając PFA, każde dwa ${\mathrm{\aleph }}_1$-gęste podzbiory prostej są porządkowo izomorficzne.

Zobacz też

• aksjomat Martina
• duże liczby kardynalne
• forsing
• hipoteza continuum
• pojęcie forsingu
• proper forsing