Proper forsing

Proper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności pojęć forsingu wprowadzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Nazwa jest spolszczeniem angielskiego wyrażenia proper forcing.

W 1978 w czasie wykładów w Berkeley, Szelach przedstawił po raz pierwszy tę własność i jej zastosowania, w druku te idee ukazały się w 1980. W 1982, Szelach opublikował monografię przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.

Definicje

W literaturze tematu funkcjonują trzy równoważne definicje pojęcia forsingów proper. Definicja teoriogrowa była opublikowana po raz pierwszy w rozprawie doktorskiej Charlsa Greya, pozostałe dwie są oryginalnymi definicjami Szelacha.

Niech $\mathbb{P}=(\mathbb{P},⩽)$ będzie pojęciem forsingu.

Definicja kombinatoryczna

• Uogólniając pojęcie zbiorów stacjonarnych wprowadzamy następujące definicje. Poniżej, dla liczby kardynalnej $\lambda$, rodzina wszystkich nieskończonych przeliczalnych podzbiorów $\lambda$ jest oznaczana przez $[\lambda {]}^{\omega }.$

(i) Zbiór $X\subseteq [\lambda {]}^{\omega }$ jest nieograniczony jeśli dla każdego $y\in [\lambda {]}^{\omega }$ możemy znaleźć $x\in X$ taki że $y\subseteq x.$

(ii) Zbiór $X\subseteq [\lambda {]}^{\omega }$ jest domknięty jeśli dla każdego ciągu $x_0\subseteq x_1\subseteq x_2\subseteq \dots \subseteq x_n\subseteq \dots$ (dla $n<\omega$) elementów zbioru $X$ spełniony jest warunek

$\bigcup _{n<\omega }{x}_n\in X.$

(iii) Zbiór $S\subseteq [\lambda {]}^{\omega }$ jest stacjonarny jeśli ma on niepusty przekrój z każdym domkniętym i nieograniczonym zbiorem $X\subseteq [\lambda {]}^{\omega }$ (tzn. $S\cap X\ne \varnothing$).

• Pojęcie forsingu $\mathbb{P}$ jest proper jeśli zachowuje ono stacjonarność podzbiorów $[\lambda {]}^{\omega }$ dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej $\lambda .$ Innymi słowy, $\mathbb{P}$ jest proper jeśli dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej $\lambda$ i każdego stacjonarnego zbioru $S\subseteq [\lambda {]}^{\omega }$ mamy, że ${⊩}_{\mathbb{P}}$ „$S$ jest stacjonarny”.

Definicja teoriogrowa

• Dla $p\in \mathbb{P}$ rozważmy następującą grę nieskończoną ${⅁}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}(p,\mathbb{P})$ długości $\omega .$ W czasie partii tej gry, dwóch graczy (Pierwszy i Druga) konstruuje ciąg $⟨{\dot{\alpha }}_n,{\beta }_n:n<\omega ⟩$ w sposób następujący. Na kroku $n,$

najpierw Pierwszy wybiera $\mathbb{P}$-nazwę (term boole’owski) ${\dot{\alpha }}_n$ taką że ${⊩}_{\mathbb{P}}$ „${\dot{\alpha }}_n$ jest liczbą porządkową”.

Potem Druga odpowiada wybierając liczbę porządkową ${\beta }_n.$

Po skończonej partii orzekamy że Druga wygrała wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje warunek $q⩽p$ taki, że $q{⊩}_{\mathbb{P}}(\mathrm{\forall }n<\omega )(\mathrm{\exists }k<\omega )({\dot{\alpha }}_n={\beta }_k).$

• Pojęcie forsingu $\mathbb{P}$ jest proper jeśli dla każdego warunku $p\in \mathbb{P},$ Druga ma strategię zwycięską w grze ${⅁}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}(p,\mathbb{P}).$

Definicja oparta na warunkach generycznych

• Powiemy, że zbiór $G\subseteq \mathbb{P}$ jest filtrem w $\mathbb{P}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $G\ne \mathrm{\varnothing },$

(ii) jeśli $p,q\in \mathbb{P},$ $q⩽p$ oraz $q\in G,$ to również $p\in G,$

(iii) jeśli $p,q\in G,$ to można znaleźć $r\in G$ taki że $r⩽p$ oraz $r⩽q.$

• Zbiór $I\subseteq \mathbb{P}$ jest gęstym podzbiorem $\mathbb{P}$ jeśli $(\mathrm{\forall }p\in \mathbb{P})(\mathrm{\exists }q\in I)(q⩽p).$
• Niech $\chi$ będzie regularną liczbą kardynalną a $\mathscr{H}(\chi )$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi .$ Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $(\mathscr{H}(\chi ),\in )$ takim, że $\mathbb{P}\in N.$ Powiemy, że warunek $q\in \mathbb{P}$ jest warunkiem $(N,\mathbb{P})$-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq \mathbb{P}$ który należy do modelu $N$ mamy

dla każdego $r\in A,$ jeśli $r,q$ są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki $r,q$ są niesprzeczne jeśli istnieje warunek $s\in \mathbb{P}$ silniejszy niż oba te warunki).

• Pojęcie forsingu $\mathbb{P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $\chi$ istnieje $x\in \mathscr{H}(\chi )$ taki, że:

jeśli $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $(\mathscr{H}(\chi ),\in ),$ $\mathbb{P},x\in N$ oraz $p\in \mathbb{P}\cap N,$

to istnieje warunek $q⩽p$ który jest $(N,\mathbb{P})$-generyczny.

Przykłady

• Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
• Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.

Przykładowe własności

• Przypuśćmy, że pojęcie forsingu $\mathbb{P}$ jest proper. Wówczas

(a) Jeśli $p\in \mathbb{P}$ oraz $\dot{\tau }$ jest $\mathbb{P}$-nazwą taką, że $p{⊩}_{\mathbb{P}}\dot{\tau }:\omega ⟶𝐕,$ to istnieją warunek $q⩽p$ oraz ciąg $⟨A_n:n<\omega ⟩$ zbiorów przeliczalnych takie, że $q{⊩}_{\mathbb{P}}(\mathrm{\forall }n<\omega )(\dot{\tau }(n)\in A_n).$

(b) ${⊩}_{\mathbb{P}}$ „${\omega }_1^{𝐕}$ jest liczbą kardynalną”.

• Przypuśćmy, że $\bar{\mathbb{Q}}=⟨{\mathbb{P}}_{\alpha },{\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }:\alpha <\gamma ⟩$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi (CS iteration) taką, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

${⊩}_{{\mathbb{P}}_{\alpha }}$ „${\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }$ jest proper”.

Wówczas ${\mathbb{P}}_{\gamma }=\lim (\bar{\mathbb{Q}})$ jest proper.

• Załóżmy CH. Przypuśćmy, że $\bar{\mathbb{Q}}=⟨{\mathbb{P}}_{\alpha },{\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }:\alpha <{\omega }_2⟩$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha <{\omega }_2$ mamy

${⊩}_{{\mathbb{P}}_{\alpha }}$ „${\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }$ jest proper mocy co najwyżej ${\mathrm{\aleph }}_1$”.

Wówczas ${\mathbb{P}}_{{\omega }_2}$ spełnia ${\mathrm{\aleph }}_2$-cc (tzn. każdy antyłańcuch w ${\mathbb{P}}_{{\omega }_2}$ jest mocy co najwyżej ${\mathrm{\aleph }}_1$) oraz ${⊩}_{{\mathbb{P}}_{\alpha }}$ „$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$” dla każdego $\alpha <{\omega }_2.$

Twierdzenia zachowawcze

Pozycja własności proper w teorii forsingów iterowanych jest wynikiem szeregu twierdzeń zachowawczych związanych z tą własnością.

Postać ogólna

Ogólny schemat twierdzeń iteracyjnych ma następującą postać. Mamy dwie własności pojęć forsingu, powiedzmy $W_1$ i $W_2$ i własność $W_1$ implikuje własność $W_2.$ Twierdzenia iteracyjne związane z tymi własnościami mogą być jednej z następujących postaci:

(a) Jeśli $\bar{\mathbb{Q}}=⟨{\mathbb{P}}_{\alpha },{\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }:\alpha <\gamma ⟩$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

${⊩}_{{\mathbb{P}}_{\alpha }}$” ${\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }$ jest proper i ma własność $W_1$”,

to ${\mathbb{P}}_{\gamma }=\lim (\bar{\mathbb{Q}})$ jest proper i ma własność $W_2.$

(b) Jeśli $\gamma$ jest liczbą graniczną oraz $\bar{\mathbb{Q}}=⟨{\mathbb{P}}_{\alpha },{\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }:\alpha <\gamma ⟩$ jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

${⊩}_{{\mathbb{P}}_{\alpha }}$ „${\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }$ jest proper” oraz ${\mathbb{P}}_{\alpha }$ ma własność $W_1,$

to ${\mathbb{P}}_{\gamma }=\lim (\bar{\mathbb{Q}})$ (jest proper i) ma własność $W_2.$

Jeśli własności $W_1,W_2$ są identyczne, to mówimy wówczas że mamy do czynienia z twierdzeniem zachowawczym.

Przykłady

• Powiemy, że pojęcie forsingu $\mathbb{Q}=(\mathbb{Q},⩽)$ jest ${\omega }^{}\omega$-ograniczające, jeśli

${⊩}_{\mathbb{Q}}(\mathrm{\forall }\eta \in {}^{\omega }\omega )(\mathrm{\exists }\nu \in {}^{\omega }\omega \cap 𝐕)(\mathrm{\forall }n\in \omega )(\eta (n)<\nu (n)).$

Twierdzenie: Jeśli $\bar{\mathbb{Q}}=⟨{\mathbb{P}}_{\alpha },{\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }:\alpha <\gamma ⟩$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

${⊩}_{{\mathbb{P}}_{\alpha }}$ „${\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }$ jest proper i ${\omega }^{}\omega$-ograniczające”,

to ${\mathbb{P}}_{\gamma }=\lim (\bar{\mathbb{Q}})$ jest proper i jest ${\omega }^{}\omega$-ograniczające.

• Powiemy, że pojęcie forsingu $\mathbb{Q}=(\mathbb{Q},⩽)$ jest słabo ${\omega }^{}\omega$-ograniczające, jeśli

${⊩}_{\mathbb{Q}}(\mathrm{\forall }\eta \in {}^{\omega }\omega )(\mathrm{\exists }\nu \in {}^{\omega }\omega \cap 𝐕)(\{n\in \omega :\eta (n)<\nu (n)\}$ jest nieskończony $).$

Twierdzenie: Jeśli $\gamma$ jest liczbą graniczną oraz $\bar{\mathbb{Q}}=⟨{\mathbb{P}}_{\alpha },{\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }:\alpha <\gamma ⟩$ jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

${⊩}_{{\mathbb{P}}_{\alpha }}$” ${\dot{\mathbb{Q}}}_{\alpha }$ jest proper „oraz ${\mathbb{P}}_{\alpha }$ jest słabo ${\omega }^{}\omega$-ograniczające,

to ${\mathbb{P}}_{\gamma }=\lim (\bar{\mathbb{Q}})$ jest proper i jest słabo ${\omega }^{}\omega$-ograniczające.

Dalsza lektura

Rozdziały 6 i 18 w monografii Szelacha są najbardziej wyczerpującym przeglądem twierdzeń zachowawczych, ale bardzo jasno przedstawione szczególne przypadki tych twierdzeń można znaleźć w artykule Goldsterna i książce Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha. Warto przy tej okazji zauważyć, że w artykule Goldsterna zakłada się (ze względów technicznych), że rozważane pojęcia forsingu dodają nowe liczby rzeczywiste, a prezentacja w książce Bartoszyńskiego i Judaha zawiera pewną lukę w tym aspekcie. Wyjaśnienie problemu i przedstawienie jego rozwiązania można znaleźć w artykule Jakoba Kellnera i Martina Goldsterna.

Aksjomat A

James E. Baumgartner wprowadził własność pojęć forsingu, która implikuje, że rozważany forsing jest proper, a której sprawdzenie w wielu przypadkach jest prostsze (czy też bardziej intuicyjne). Własność ta znana jest pod nazwą aksjomatu A lub aksjomatu Baumgartnera.

Aksjomat Baumgartnera

Powiemy, że pojęcie forsingu $\mathbb{P}=(\mathbb{P},⩽)$ spełnia aksjomat A, jeśli istnieje ciąg porządków częściowych $({⩽}_n{)}_{n<\omega }$ na $\mathbb{P}$ taki, że

(i) jeśli $q{⩽}_{0}p,$ to $q⩽p,$

(ii) jeśli $q{⩽}_{n+1}p,$ to $q{⩽}_{n}p,$

(iii) jeśli nieskończony ciąg warunków $⟨p_n:n<\omega ⟩$ ma tę własność, że $p_{n+1}{⩽}_n{p}_n$ (dla wszystkich $n<\omega$), to można znaleźć warunek $q\in \mathbb{P}$ taki, że $(\mathrm{\forall }n<\omega )(q{⩽}_n{p}_n),$

(iv) dla każdego warunku $p\in \mathbb{P},$ liczby $n<\omega$ oraz maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq \mathbb{P}$ można wybrać warunek $q\in \mathbb{P}$ taki, że $q{⩽}_{n}p$ i zbiór $\{r\in A:r,q$ są niesprzeczne $\}$ jest przeliczalny.

Konsekwencje i przykłady

• Jeśli pojęcie forsingu $\mathbb{P}$ spełnia aksjomat A, to jest ono proper.
• Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu spełniają aksjomat A. (W pierwszym przypadku kładziemy ${⩽}_n=⩽,$ a w drugim ${⩽}_n$ jest równością.)
• Forsing Silvera spełnia aksjomat A. Przypomnijmy, że pojęcie forsingu Silvera $𝕊$ jest zdefiniowane następująco. Elementami porządku (tzn. warunkami) są funkcje $f:\mathrm{dom}(f)\to \omega$ takie, że $\mathrm{dom}(f)\subseteq \omega$ oraz $\omega \setminus \mathrm{dom}(f)$ jest nieskończone; porządek jest odwrotną relacją wydłużania funkcji, tzn. $g⩽f$ wtedy i tylko wtedy, gdy ($f,g\in 𝕊$ oraz) $f\subseteq g.$

Dla liczby naturalnej $n\in \omega$ określmy relację dwuczłonową ${⩽}_n$ na $𝕊$ w sposób następujący. Kładziemy ${⩽}_0=⩽$ oraz dla $n>0:$

$g{⩽}_{n}f$ wtedy i tylko wtedy, gdy ($f,g\in 𝕊$ oraz) $g⩽f$ i jeśli $k\in \omega \setminus \mathrm{dom}(f)$ i $|k\setminus \mathrm{dom}(f)|<n$ to $k\notin \mathrm{dom}(g).$

Łatwo można sprawdzić, że ${⩽}_n$ są porządkami częściowymi na $𝕊$ zaświadczającymi, że $𝕊$ spełnia aksjomat A.

• Ogólniej, pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach spełniają aksjomat A przy naturalnych warunkach.

Zobacz też

• forsing
• PFA
• pojęcie forsingu
• teoria mnogości