Antyłańcuch

Antyłańcuch to termin w kilku dziedzinach matematyki na określenie obiektów o własnościach związanych z pewnymi praporządkami.

Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych

Definicja

Przy określonym porządku $(P,⊑)$ zbiór $A\subseteq P$ nazywamy antyłańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy

$(\mathrm{\forall }x,y\in A)(x\ne y\Rightarrow \mathrm{\neg }(x⊑y\vee y⊑x)).$

Intuicyjnie, zbiór jest antyłańcuchem, gdy nie da się porównać żadnych dwóch różnych jego elementów.

Przykłady i własności

• Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest antyłańcuchem (i jednocześnie jest też łańcuchem).
• Porządek częściowy $(P,⊑)$ jest porządkiem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy antyłańcuch w tym porządku jest jednoelementowy.
• Twierdzenie Dilwortha mówi, że częściowy porządek $(P,⊑)$ nie zawiera $n+1$ elementowych antyłańcuchów $(n\in \mathbb{N})$ wtedy i tylko wtedy, gdy $P$ jest sumą $n$ łańcuchów.
• Twierdzenie Spernera mówi, że jeśli $P$ jest rodziną wszystkich podzbiorów pewnego $n$ elementowego zbioru $X,$ a porządek $⊑$ jest zawieraniem, to każdy antyłańcuch zawarty w $P$ ma co najwyżej $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\lfloor n/2\rfloor })$ elementów.

Antyłańcuchy w teorii forsingu

Definicja

Niech $(\mathbb{P},⩽)$ będzie pojęciem forsingu. Zbiór $A\subseteq \mathbb{P}$ jest antyłańcuchem w $\mathbb{P}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne warunki $p,q\in A$ są sprzeczne, tzn.

$(\mathrm{\forall }p,q\in A)(p\ne q\Rightarrow \mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }r\in \mathbb{P})(r⩽p\wedge r⩽q)).$

Pojęcie antyłańcucha w sensie forsingu jest różne od tegoż w sensie teorii posetów: nieporównywalność elementów jest tutaj zastąpiona sprzecznością warunków.

$\kappa$-cc

Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną. Powiemy, że pojęcie forsingu $(\mathbb{P},⩽)$ spełnia $\kappa$-cc, jeśli każdy antyłańcuch w $\mathbb{P}$ jest mocy mniejszej niż $\kappa .$ Jeśli $\mathbb{P}$ spełnia ${\mathrm{\aleph }}_1$-cc, to mówimy wtedy też, że $\mathbb{P}$ spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo $\mathbb{P}$ spełnia ccc.

Nazwa $\kappa$-cc jest skrótem angielskiego wyrażenia $\kappa$-chain condition (warunek $\kappa$-łańcucha). Użycie słowa łańcuch (chain) było pierwotnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii.

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi, że najmniejsza liczba kardynalna $\kappa ,$ dla której pojęcie forsingu $\mathbb{P}$ spełnia warunek $\kappa$-cc, musi być regularna.

Przykłady i własności

• Pojęcie forsingu Cohena (zbiór skończonych ciągów liczb naturalnych uporządkowany przez odwrotną relację wydłużania ciągów) spełnia ccc.
• Pojęcie forsingu Solovaya (zbiór domkniętych podzbiorów $ℝ$ miary dodatniej uporządkowany przez inkluzję) spełnia ccc.
• Pojęcie forsingu Sacksa (zbiór doskonałych podzbiorów $ℝ$ uporządkowany przez inkluzję) nie spełnia ccc. Poniżej każdego warunku w tym forsingu można skonstruować antyłańcuch mocy continuum.
• Rozszerzenia generyczne modeli ZFC przy użyciu pojęć forsingu spełniających ccc zachowują liczby kardynalne. Rozszerzenia przy użyciu pojęć forsingu spełniających $\kappa$-cc zachowują liczby kardynalne większe lub równe $\kappa .$

Antyłańcuchy w algebrach Boole’a

Definicja

Ponieważ algebry Boole’a są też pojęciami forsingu, forsingowa definicja antyłańcuchów jest naturalnie przenoszona na algebry Boole’a. Niech $(𝔹,\vee ,\wedge ,\mathrm{\neg },0,1)$ będzie algebrą Boole’a. Zbiór $A\subseteq 𝔹\setminus \{0\}$ jest antyłańcuchem w $𝔹$ wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne elementy $A$ są rozłączne, tzn.

$(\mathrm{\forall }a,b\in A)(a\ne b\Rightarrow a\wedge b=0).$

Celularność

Celularność jest funkcją kardynalną określona na algebrach Boole’a. Celularność $c(𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w $𝔹.$

Mówimy, że algebra Boole’a $𝔹$ spełnia ccc, jeśli $c(𝔹)⩽{\mathrm{\aleph }}_0.$

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi, że jeśli celularność $c(𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ jest liczbą singularną, to istnieje antyłańcuch $A\subseteq 𝔹\setminus \{0\}$ mocy $c(𝔹).$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].