Funkcja kardynalna

Funkcja kardynalna – funkcja, której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.

Funkcje kardynalne są jednym z najbardziej widocznych połączeń teorii mnogości z innymi dziedzinami matematyki. Dostarczają one wygodnego języka do opisu różnych własności obiektów matematycznych i są również interesującym obiektem badań samym w sobie.

Funkcje kardynalne w teorii mnogości

• Najczęściej spotykaną funkcją kardynalną jest funkcja moc zbioru, która dla zbioru $A$ przyporządkowuje jego moc $|A|.$
• Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech $I$ będzie takim ideałem podzbiorów zbioru $S,$ który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}(I)=\min \{|𝒜|:𝒜\subseteq I\wedge \bigcup 𝒜\notin I\},$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(I)=\min \{|𝒜|:𝒜\subseteq I\wedge \bigcup 𝒜=S\},$

$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}(I)=\min \{|A|:A\subseteq S\wedge A\notin I\},$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(I)=\min \{|ℬ|:ℬ\subseteq I\wedge (\mathrm{\forall }A\in I)(\mathrm{\exists }B\in ℬ)(A\subseteq B)\}.$

• Dla praporządku $(\mathbb{P},⊑)$ określa się liczbę nieograniczoną $𝔟(\mathbb{P})$ oraz liczbę dominującą $𝔡(\mathbb{P})$ tego praporządku przez

$𝔟(\mathbb{P})=\min \{|Y|:Y\subseteq \mathbb{P}\wedge (\mathrm{\forall }x\in \mathbb{P})(\mathrm{\exists }y\in Y)(y⋢x)\},$

$𝔡(\mathbb{P})=\min \{|Y|:Y\subseteq \mathbb{P}\wedge (\mathrm{\forall }x\in \mathbb{P})(\mathrm{\exists }y\in Y)(x⊑y)\}.$

Funkcje kardynalne w topologii

Funkcje kardynalne są szeroko używane w topologii, gdzie są bardzo wygodnym narzędziem w opisie własności przestrzeni topologicznych. Na przykład rozważa się następujące funkcje kardynalne:

• Ciężar przestrzeni $X$ to $\mathrm{w}(X)=\min \{|ℬ|:ℬ$ jest bazą topologii na $X\}+{\mathrm{\aleph }}_0.$
• Gęstość przestrzeni $X$ to $\mathrm{d}(X)=\min \{|S|:S\subseteq X\wedge {\mathrm{c}\mathrm{l}}_X(S)=X\}+{\mathrm{\aleph }}_0.$
• Celularność przestrzeni $X$ to

$\mathrm{c}(X)=\sup \{|𝒰|:𝒰$ jest rodziną parami rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów $X\}+{\mathrm{\aleph }}_0.$

• Ciasność przestrzeni $X$ w punkcie $x\in X$ to

$t(x,X)=\sup \{\min \{|Z|:Z\subseteq Y\wedge x\in {\mathrm{c}\mathrm{l}}_X(Z)\}:Y\subseteq X\wedge x\in {\mathrm{c}\mathrm{l}}_X(Y)\}$

i ciasność przestrzeni $X$ to $t(X)=\sup \{t(x,X):x\in X\}.$

• Rozciągłość przestrzeni $X$ to

$s(X)=\sup \{|Y|:Y\subseteq X$ z topologią podprzestrzeni jest przestrzenią dyskretną$\}.$

Funkcje kardynalne w teorii algebr Boole’a

Funkcje kardynalne są często używanym narzędziem do opisu i badania algebr Boole’a. Rozważa się, na przykład, następujące funkcje:

• Celularność $c(𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w $𝔹.$
• Długość $\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ to

$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(𝔹)=\sup \{|A|:A\subseteq 𝔹$ jest łańcuchem$\}$

• Głębokość $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ to

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(𝔹)=\sup \{|A|:A\subseteq 𝔹$ jest dobrze uporządkowanym łańcuchem$\}.$

• Nieporównywalność $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{c}(𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ to

$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{c}(𝔹)=\sup \{|A|:A\subseteq 𝔹$ oraz $(\mathrm{\forall }a,b\in A)(a\ne b\Rightarrow \mathrm{\neg }(a⩽b\vee b⩽a))\}.$

• Pseudociężar $\pi (𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ to

$\pi (𝔹)=\min \{|A|:A\subseteq 𝔹\setminus \{0\}$ oraz $(\mathrm{\forall }b\in B\setminus \{0\})(\mathrm{\exists }a\in A)(a⩽b)\}.$

Funkcje kardynalne w algebrze

Funkcje kardynalne w algebrze są mniej wyeksponowane, niemniej jednak są one tam obecne. Przykładami takich funkcji są:

• Wymiar przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem$K.$
• Dla modułu wolnego $M$ nad pierścieniem przemiennym $R$ wprowadza się rangę $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(M)$ jako moc dowolnej bazy wolnej tego modułu.
• Dla podprzestrzeni $W$ przestrzeni liniowej $V$ rozważa się kowymiar tej przestrzeni (względem $V$).
• Dla (przemiennej) grupy nieskończenie podzielnej $G$ rozważa się rangi ${\nu }_0(G)$ i ${\nu }_p(G)$ (dla wszystkich liczb pierwszych $p$) dane przez rozkład

$G=(\underset{p\in \mathbb{P}}{⨁}\mathbb{Z}[p^{\mathrm{\infty }}{]}^{({\nu }_p(G))})\oplus {\mathbb{Q}}^{({\nu }_0(G))}.$

(Powyżej, $\mathbb{P}$ jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych, $\mathbb{Q}$ jest grupą addytywną liczb wymiernych, a $\mathbb{Z}[p^{\mathrm{\infty }}]=\{e^{\frac{2ni\pi }{p^m}}|n\in {\mathbb{Z}}^{+},m\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$ jest grupą $p$-quasi cykliczną).

• Dla każdej struktury algebraicznej można rozważać minimalną moc zbiorów generatorów tej struktury.

Funkcje kardynalne w analizie funkcjonalnej

• Dla przestrzeni Banacha $X$ rozważa się zbiory Enflo-Rosenthala (tzw. ER-zbiory) będące uogólnieniami bazy Schaudera. (Zbiór $A\subseteq X$ jest zbiorem Enflo-Rosenthala jeśli każdy jego przeliczalny podzbiór może być uporządkowany tak, że stanowi ciąg bazowy oraz każdy element $X$ jest granicą ciągu skończonych kombinacji elementów $A$). Minimalne moce ER-zbiorów są (oczywiście) funkcjami kardynalnymi na przestrzeniach Banacha dopuszczających istnienie takich zbiorów.