Klasa (matematyka)

Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność posiadaną przez wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.

Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych” aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.

Przykłady

Przykłady klas:

• klasa wszystkich zbiorów – rozważanie zbiorów wszystkich zbiorów prowadzi do antynomii (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), dlatego wszystkie zbiory tworzą klasę właściwą
• klasa wszystkich liczb porządkowych – rozważanie zbioru wszystkich liczb porządkowych prowadzi do antynomii (paradoks Buralego-Fortiego), dlatego liczby porządkowe tworzą klasę właściwą
• klasa wszystkich liczb nadrzeczywistych – jest to nadklasa klasy wszystkich liczb porządkowych
• klasy obiektów dużych kategorii, np. Top – kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych
• uniwersum konstruowalne

Klasy jako formuły

Klasy można traktować jako nieformalne obiekty wyznaczone przez formuły języka teorii mnogości. Podejście takie jest przyjmowane, na przykład, w monografii Thomasa Jecha. W książce tej, dla formuły $\phi (x,y_1,y_2,\dots ,y_n)$ o zmiennych wolnych zawartych wśród $x,y_1,y_2,\dots ,y_n$ oraz parametrów $p_1,\dots ,p_n,$ wprowadza się klasę definiowaną przez $\phi$ z parametrów $p_1,\dots ,p_n$ jako $𝐂=\{x:\phi (x,p_1,\dots ,p_n)\}.$ Tak więc dla klasy $𝐂$ zdefiniowanej przez $\phi$ z parametrów $p_1,\dots ,p_n$ mamy

$x\in 𝐂$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\phi (x,p_1,\dots ,p_n).$

Klasy $𝐂,𝐃$ zdefiniowane przez $\phi (x,p_1,\dots ,p_n),$ $\psi (x,q_1,\dots ,q_m)$ (odpowiednio) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy, czyli gdy

$(\mathrm{\forall }x)(\phi (x,p_1,\dots ,p_n)\iff \psi (x,q_1,\dots ,q_m))$

Przy tym podejściu, wprawdzie wykonujemy różne operacje na klasach czy też rozważamy różne relacje między nimi, klasy są tożsame z formułami je definiującymi. Każde użycie klasy może być zastąpione przez odwołanie do formuły ją definiującej.

Teoria klas Morse’a-Kelleya

John L. Kelley zaproponował podejście sformalizowane trochę inaczej przez Anthony Morse’a i rozważane też przez Johna von Neumanna, a znane dzisiaj jako teoria klas Morse’a-Kelleya (lub system Morse’a-Kelleya). Jest to teoria w języku $ℒ(\in );$ obiekty nazywane są klasami, a klasy które są elementami innych klas nazywane są też zbiorami (tak więc „$x$ jest zbiorem” jest formułą $(\mathrm{\exists }y)(x\in y)$). Klasy które nie są zbiorami nazywane są klasami właściwymi.

W literaturze przedmiotu spotyka się kilka zestawów aksjomatów nazywanych aksjomatami teorii klas Morse’a-Kelleya. Różnice między rozważanymi aksjomatykami mogą być bardzo istotne, a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

• Aksjomat ekstensjonalności (klasy mające te same elementy są równe).
• Dla każdej formuły $\phi$ języka $ℒ(\in )$ wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona ze zbiorów, które spełniają tę formułę:

$\left(\mathrm{\exists }y\right)\left(\mathrm{\forall }x\right)(x\in y\iff ((\mathrm{\exists }z)(x\in z)\wedge \phi (x))).$

• Aksjomat pary (dla każdych zbiorów $x,y$ istnieje zbiór $\{x,y\},$ którego jedynymi elementami są $x$ i $y$).
• Klasa C jest klasą właściwą wtedy – i tylko wtedy – gdy istnieje bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
• Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru A, klasa wszystkich podzbiorów zbioru $A$ jest zbiorem.
• Aksjomat sumy: suma zbioru zbiorów jest zbiorem.
• Aksjomat nieskończoności:

$(\mathrm{\exists }w\in 𝐕)(\varnothing \in w\wedge (\mathrm{\forall }y\in w)(y\cup \{y\}\in w))$

• Aksjomat regularności:

$\left(\mathrm{\forall }x\right)(x\ne \varnothing \Rightarrow (\mathrm{\exists }y\in x)(y\cap x=\varnothing )).$

Teoria ta istotnie rozszerza teorię ZFC.

Wojciech Guzicki i Paweł Zbierski opierają swój wykład teorii mnogości na zbliżonej aksjomatyce.

Teoria klas NBG

Aksjomatyzacja teorii mnogości zaproponowana przez von Neumanna, rozwinięta przez Paula Bernaysa, a następnie uproszczona przez Kurta Gödla znana jest dzisiaj jako aksjomatyka NBG. Występują w niej dwa rodzaje obiektów (klasy i zbiory) i relacja należenia

$x\in y$

jest określona tylko wtedy, gdy $x$ jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka różnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

• Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe).
• Dla każdej formuły $\phi ,$ w której nie ma kwantyfikowania po klasach, wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów, które spełniają tę formułę.
• Aksjomat pary (dla każdych zbiorów $x,y$ istnieje zbiór $\{x,y\}$ którego jedynymi elementami są $x$ i $y$).
• Dla każdej klasy C,

istnieje zbiór $c$ taki że $(\mathrm{\forall }x)(x\in c\iff x\in 𝐂)$ wtedy i tylko wtedy, gdy

nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.

• Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru $x,$ istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów $x.$
• Aksjomat sumy: dla każdego zbioru $x$ istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów zbioru $x.$
• Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór induktywny, tzn. zbiór $w$ taki że

$\varnothing \in w\wedge (\mathrm{\forall }y\in w)(y\cup \{y\}\in w)$

• Aksjomat regularności: w każdej niepustej klasie C można znaleźć element $x$ rozłączny z tą klasą.

Teoria NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZFC (tzn. zdania w języku ZFC są dowodliwe w ZFC wtedy i tylko wtedy, gdy są one dowodliwe w NBG).

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].
• Szablon:Otwarty dostęp Class Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].