Paradoks zbioru wszystkich zbiorów

Paradoks zbioru wszystkich zbiorów – paradoks tzw. „naiwnej” teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora. Przykład antynomii logicznej (syntaktycznej), tzn. antynomii wynikającej z nie dość precyzyjnego używania pojęć teorii.

Paradoks jest efektem następującego rozumowania:

Przypuśćmy, że

𝐙

jest zbiorem wszystkich zbiorów i niech

P (𝐙)

oznacza zbiór potęgowy zbioru

𝐙 .

Z jednej strony, zbiór $𝐙$ jako zbiór wszystkich zbiorów zawiera w sobie także $P (𝐙),$ tzn. $P (𝐙) \subset 𝐙 .$
Stąd moc zbioru $P (𝐙)$ jest nie większa od mocy zbioru $𝐙 : | P (𝐙) | ⩽ | 𝐙 | .$
Z drugiej strony, na mocy twierdzenia Cantora zbiór $P (𝐙)$ ma moc istotnie większą od mocy zbioru $𝐙 : | P (𝐙) | > | 𝐙 | .$

Źródłem tego paradoksu była praktyka naiwnej teorii mnogości polegająca na definiowaniu zbiorów z użyciem formuł logicznych bez zatroszczenia się o istnienie „dziedziny” tej formuły, czyli zbioru, z którego wybieramy elementy spełniające tę formułę. Np. definicja Z={X:1=1} pozornie określa zbiór wszystkiego, w rzeczywistości określa ona klasę właściwą, a nie zbiór.

Podobnie intuicyjna i prawdziwa dla wszystkich zbiorów formuła $x \notin x$ (wynikająca zresztą z aksjomatu regularności) pozwala w naiwnej teorii mnogości zdefiniować zbiór ${x : x \notin x} .$ Jednak stwierdzenie, czy jakiś obiekt należy do tego zbioru, prowadzi wprost do paradoksu Russella.

O ile w naiwnej teorii mnogości powyższe rozumowanie prowadzi do niewytłumaczalnej sprzeczności (stąd określenie paradoks), o tyle w aksjomatycznej teorii mnogości jest ścisłym dowodem na nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów.