Aksjomat nieskończoności

Aksjomat nieskończoności – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Mówi, że istnieje zbiór $X$ spełniający dwa następujące warunki:

• $\varnothing \in X,$
• ${\mathrm{\forall }}_{y\in X}(S(y)\in X),$

gdzie S(y) jest następnikiem porządkowym zbioru y:

$S(y)=y\cup \{y\}.$

Oznacza to, że do zbioru $X$ należą:

• $\varnothing$ nazwijmy go $A_0,$
• $\{\varnothing \}$ nazwijmy go $A_1,$
• $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ nazwijmy go $A_2$

itd.

Zbiór taki jest zbiorem nieskończonym – stąd nazwa aksjomatu.

Zbiór, który składa się z elementów $A_0,A_1,A_2,\dots$ (i żadnych innych), można utożsamić ze zbiorem liczb naturalnych, zbiory $A_0,A_1,A_2,\dots$ zaś utożsamić z liczbami $0,1,2,\dots$

Zbiór spełniający warunki aksjomatu nazywamy zbiorem induktywnym.

Formalne sformułowanie aksjomatu nieskończoności

Istnieje rodzina zbiorów $𝔸$ o następujących własnościach:

• $\varnothing \in 𝔸,$
• jeśli $X\in 𝔸,$ to w $𝔸$ istnieje taki element Y, że $Y=X\cup \{X\}.$

Symbolicznie:

${\mathrm{\exists }}_{𝔸}\varnothing \in 𝔸\wedge {\mathrm{\forall }}_{X\in 𝔸}{\mathrm{\exists }}_{Y\in 𝔸}{\mathrm{\forall }}_x(x\in Y\iff x\in X\vee x=X)$.

Zobacz też

• zbiór induktywny

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].