Pojęcie forsingu

Szablon:Spis treści Pojęcie forsingu – praporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli $(\mathbb{P},⩽)$ jest pojęciem forsingu, to elementy zbioru $\mathbb{P}$ są nazywane warunkami, a dla $p,q\in \mathbb{P}$ takich że $q⩽p$ mówimy, że warunek $q$ jest silniejszy niż warunek $p$. Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Szelach i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu.

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole’a, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu.

Związek z zupełnymi algebrami Boole’a

Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole’a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole’a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór $U\subseteq X$ jest regularnie otwarty jeśli $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(\mathrm{c}\mathrm{l}(U))=U$ (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie $\mathrm{R}\mathrm{O}(X)$ wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:

$U+V=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(\mathrm{c}\mathrm{l}(U\cup V)),$     $U\cdot V=U\cap V$   oraz   $\sim U=X\setminus \mathrm{c}\mathrm{l}(U).$

Wówczas $(\mathrm{R}\mathrm{O}(X),+,\cdot ,\sim ,\varnothing ,X)$ jest zupełną algebrą Boole’a.

Powiemy, że częściowy porządek $(\mathbb{P},⩽)$ jest separatywny jeśli dla każdych warunków $p,q\in \mathbb{P}$ takich że $q⩽̸p$ można znaleźć warunek $r\in \mathbb{P}$ który jest silniejszy niż q (tzn. $r⩽q$) oraz sprzeczny z p (tzn. nie ma żadnego warunku $s\in \mathbb{P}$ który by spełniał jednocześnie $s⩽p$ oraz $s⩽r$).

Przypuśćmy teraz, że $(\mathbb{P},⩽)$ jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla $p\in \mathbb{P}$ połóżmy $U_p=\{q\in \mathbb{P}:q⩽p\}.$ Wówczas rodzina $\{U_p:p\in \mathbb{P}\}$ jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze $\mathbb{P}.$ Każdy zbiór $U_p$ jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

$p\mapsto U_p:\mathbb{P}⟶\mathrm{R}\mathrm{O}(\mathbb{P})$

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry $\mathrm{R}\mathrm{O}(\mathbb{P})$ (tzn. każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór $\mathbb{P}$ zawiera pewien zbiór $U_p$ $(p\in \mathbb{P})$).

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole’a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu tożsamościowego na $\mathbb{P}.$)

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień, aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

Przykłady

Rodzina pojęć forsingu stosowanych w teorii mnogości jest olbrzymia. Duża część publikacji prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.

• Forsing Cohena:

warunkami są skończone ciągi p liczb naturalnych,

porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli $q⩽p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $p⊴q$);

powyżej, symbol $⊴$ oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i $⊴=\subseteq$).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa $ℬ/𝒦,$ gdzie $ℬ$ jest $\sigma$-ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej $ℝ$ a $𝒦$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\in ℬ$ które są pierwszej kategorii.

• Forsing Solovaya:

warunkami są te domknięte podzbiory $ℝ,$ które mają dodatnią miarę Lebesgue’a,

porządkiem jest relacja zawierania (tzn. $q⩽p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q\subseteq p$).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa $ℬ/ℒ,$ gdzie $ℬ$ jest $\sigma$-ciałem borelowskich podzbiorów $ℝ$ a $ℒ$ jest rodziną tych zbiorów $A\in ℬ$ które są miary zero.

• Forsing Lavera:

warunkami są zbiory $T$ skończonych ciągów liczb naturalnych takie że

(a) $(\mathrm{\forall }t\in T)(\mathrm{\forall }n)(t\upharpoonright n\in T)$ oraz

(b) $(\mathrm{\exists }s\in T)(\mathrm{\forall }t\in T)([s\subseteq t\vee t\subseteq s]\wedge [s\subseteq t\Rightarrow \{n\in \mathbb{N}:t^{⌢}⟨n⟩\in T\}$ jest nieskończony]).

porządkiem jest relacja zawierania (tzn. $T⩽S$ wtedy i tylko wtedy, gdy $T\subseteq S$).

• Forsing Mathiasa:

warunkami są pary $(w,A)$ takie, że $w$ jest skończonym zbiorem liczb naturalych, $A$ jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz $\max (w)<\min (A),$

porządek jest zdefiniowany przez $(w^{\prime },A^{\prime })⩽(w,A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $w\subseteq w^{\prime },$ $A^{\prime }\subseteq A$ oraz $w^{\prime }\setminus w\subseteq A.$

• Forsing Hechlera:

warunkami są pary $(n,f)$ takie, że $n$ jest liczbą naturalną, a $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ jest funkcją.

porządek jest zdefiniowany przez $(n^{\prime },f^{\prime })⩽(n,f)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n⩽n^{\prime },$ $f(k)⩽f^{\prime }(k)$ dla każdego $k,$ i $f\upharpoonright n=f^{\prime }\upharpoonright n$

• Forsing Sacksa:

warunkami są doskonałe podzbiory prostej rzeczywistej $ℝ,$

porządkiem jest relacja zawierania.

Rozważane własności

W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.

• Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną. Powiemy, że pojęcie forsingu $(\mathbb{P},⩽)$ spełnia $\kappa$-cc jeśli każdy antyłańcuch w $\mathbb{P}$ jest mocy mniejszej niż $\kappa .$ Jeśli $\mathbb{P}$ spełnia ${\mathrm{\aleph }}_1$-cc to mówimy wtedy też, że $\mathbb{P}$ spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo $\mathbb{P}$ spełnia ccc („countable chain condition”)
• Dla liczby kardynalnej κ, powiemy, że pojęcie forsingu $(\mathbb{P},⩽)$ jest $(<\kappa )$-domknięte jeśli każdy łańcuch w $\mathbb{P}$ mocy mniejszej niż $\kappa$ ma ograniczenie dolne.
• Niech $\chi$ będzie regularną liczbą kardynalną a $\mathscr{H}(\chi )$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi .$ Przypuśćmy, że $\mathbb{P}$ jest pojęciem forsingu a $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $(\mathscr{H}(\chi ),\in )$ takim, że $\mathbb{P}\in N.$ Powiemy, że warunek $q\in \mathbb{P}$ jest warunkiem $(N,\mathbb{P})$-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $𝒜\subseteq \mathbb{P}$ który należy do modelu $N$ mamy

dla każdego $r\in 𝒜,$ jeśli $r,q$ są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki $r,q$ są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek $s\in \mathbb{P}$ silniejszy niż oba te warunki.)

Pojęcie forsingu $\mathbb{P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $\chi$ istnieje $x\in \mathscr{H}(\chi )$ taki, że:

jeśli $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $(\mathscr{H}(\chi ),\in ),$ $\mathbb{P},x\in N$ oraz $p\in \mathbb{P}\cap N,$

to istnieje warunek $q⩽p$ który jest $(N,\mathbb{P})$-generyczny.

Zobacz też

• aksjomat Martina
• PFA