Wnętrze (matematyka)

Punkt $W$ jest punktem wewnętrznym figury

Wnętrze zbioru (figury, bryły) $F$ – pojęcie w geometrii lub topologii; zbiór punktów wewnętrznych podzbioru przestrzeni, czyli tych punktów, które należą do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru $F$ oznacza się przez $\mathrm{int}(F),$ $\mathrm{Int}(F)$ lub $F^{\circ }.$

Własności

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

1. Wnętrze zbioru $F$ jest otwartym podzbiorem $F.$
2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów $F.$
3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w $F$.
4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
5. Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu: $\mathrm{int}(\mathrm{int}(S))=\mathrm{int}(S).$
6. Jeżeli $S$ jest podzbiorem $F,$ to $\mathrm{int}(S)$ jest podzbiorem $\mathrm{int}(F):S\subset F\Rightarrow \mathrm{int}(S)\subseteq \mathrm{int}(F).$
7. Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów: $\mathrm{int}(S\cap F)=\mathrm{int}(S)\cap \mathrm{int}(F).$
8. Jeżeli $S$ jest zbiorem otwartym, to $S$ jest podzbiorem $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy $S$ jest podzbiorem $\mathrm{int}(F).$

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.

W przestrzeni metrycznej punkt $p$ zbioru $F$ jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie $p$ całkowicie zawarta w zbiorze $F.$

Pozostałe własności

1. $\mathrm{int}A\cup \mathrm{int}B\subset \mathrm{int}(A\cup B)$ dla dowolnych zbiorów $A\subset X,B\subset X$
2. $\bigcup _{s\in S}\mathrm{int}{A}_s\subset \mathrm{int}\left(\bigcup _{s\in S}{A}_s\right)$ dla dowolnej rodziny zbiorów $\{A_s\subset X:s\in S\}$
3. Dla każdego $A\subset X$ mamy
   $\mathrm{int}A=X\setminus \mathrm{cl}(X\setminus A)$
4. $A\subset X\Rightarrow \mathrm{int}A\subset \mathrm{int}\mathrm{cl}(A)$
   przykład:
   $\mathrm{int}\mathbb{Q}=\varnothing \subset \mathrm{int}\mathrm{cl}(\mathbb{Q})=ℝ$

Operacja wnętrza a topologia

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek $\mathrm{int}(X)=X,$ gdzie $X$ oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze $X$Szablon:Odn.

Przykłady

• W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
• W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
• Niech $R$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
  • wnętrzem przedziału domkniętego $[a,b]$ jest przedział otwarty $(a,b)$
  • wnętrzem przedziału $[a,b)$ jest przedział $(a,b)$
  • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
  • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
  • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
  • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.

Zobacz też

• brzeg
• zewnętrze

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę