Indeks Szlenka

Indeks Szlenka – w analizie funkcjonalnej, dla danej przestrzeni Banacha $X,$ liczba porządkowa, która w pewnym sensie mierzy, jak bardzo podobne są do siebie topologia wyznaczona przez normę i *-słaba topologia na domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej $X^{*}.$

Pojęcie wprowadzone w 1968 roku przez Wiesława Szlenka w celu udowodnienia, że nie istnieje uniwersalna (refleksywna) przestrzeń Asplunda dla klasy wszystkich ośrodkowych, refleksywnych przestrzeni Banacha.

Konstrukcja

Niech $X$ będzie przestrzenią Asplunda (przestrzeń Banacha jest przestrzenią Asplunda wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń sprzężona do jej dowolnej ośrodkowej podprzestrzeni jest nadal ośrodkowa). Jeżeli $\epsilon >0$ oraz $K$ jest *-słabo zwartym podzbiorem przestrzeni sprzężonej $X^{*},$ to niech

$B_{\epsilon }^0=K.$

Przy użyciu indukcji pozaskończonej definiuje się kolejno zbiory $B_{\epsilon }^{\alpha }.$ Jeżeli $\alpha =\beta +1,$ to

$B_{\epsilon }^{\alpha }=B_{\epsilon }^{\beta }\setminus \bigcup 𝒦,$

gdzie $𝒦$ jest rodziną wszystkich *-słabo otwartych podzbiorów $B_{\epsilon }^{\beta }$ o średnicy nie przekraczającej $\epsilon .$ W przypadku, gdy $\alpha$ jest liczbą graniczną definiuje się

$B_{\epsilon }^{\alpha }=\bigcap _{\beta <\alpha }{B}_{\epsilon }^{\beta }.$

Wszystkie zbiory zdefiniowane powyżej są *-słabo zwarte. Niech

${\text{Sz}}_{\epsilon }(K)=\alpha ,$

gdzie $\alpha$ jest najmniejszą taką liczbą porządkową, że zbiór $B_{\epsilon }^{\alpha }$ jest pusty. Definicja ta jest poprawna (tj. dla pewnej liczby $\alpha$ zbiór $B_{\epsilon }^{\alpha }$ jest pusty) z uwagi na założenie, że $X$ jest przestrzenią Asplunda.

Indeks Szlenka zbioru $K$ definiuje się jako liczbę

$\text{Sz}(K)=\underset{\epsilon >0}{\sup }{\text{Sz}}_{\epsilon }(K).$

W przypadku, gdy $K$ jest domkniętą kulą jednostkową przestrzeni $X^{*}$ (por. twierdzenie Banacha-Alaoglu), używa się notacji $\text{Sz}X$ i mówi się o indeksie Szlenka przestrzeni $X.$

Własności

• Jeżeli $Y$ jest przestrzenią Asplunda oraz przestrzeń $X$ zanurza się izomorficznie w przestrzeń $Y,$ to

$\text{Sz}(X)⩽\text{Sz}(Y).$

• Jeżeli $\tau$ jest gęstością przestrzeni $X$ (minimalną mocą zbioru gęstego w $X$), to $\text{Sz}(X)<{\tau }^{+},$ przy czym ${\tau }^{+}$ oznacza najmniejszą liczbę kardynalną większą od $\tau .$
• Jeżeli $X$ jest przestrzenią Asplunda, to

$\text{Sz}(X\oplus X)=\text{Sz}(X)$.

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią Asplunda, to istnieje taka liczba porządkowa $\alpha ,$ że $\text{Sz}(X)={\omega }^{\alpha }.$ W szczególności, jeżeli $\text{Sz}(X)<{\omega }_1,$ to $\alpha <{\omega }_1.$
• Jeżeli $X$ jest taką przestrzenią Asplunda oraz $\text{Sz}X>\alpha$ dla pewnej przeliczalnej liczby porządkowej $\alpha ,$ to istnieje taka ośrodkowa domknięta podprzestrzeń $Y$ przestrzeni $X,$ że $\text{Sz}Y>\alpha$Szablon:Odn.

Przykłady

• Jeżeli $\alpha <{\omega }_1,$ to przedział liczb porządkowych $[0,{\omega }^{{\omega }^{\alpha }}]$ z topologią porządkową jest zwartą przestrzenią metryzowalną oraz dla dowolnej pary różnych liczb $\alpha ,\beta <{\omega }_1$ przestrzenie $C([0,{\omega }^{{\omega }^{\alpha }}])$ i $C([0,{\omega }^{{\omega }^{\beta }}])$ nie są izomorficzne. Co więcej, mogą być one rozróżnianiane poprzez indeks Szlenka. Dokładniej:

$\text{Sz}(C([0,{\omega }^{{\omega }^{\alpha }}]))={\omega }^{\alpha +1}$.

• Przestrzeń $C([0,\alpha ])$ jest przestrzenią Asplunda dla dowolnej liczby porządkowej. Jeżeli $\alpha \in [{\omega }_1,{\omega }_1\cdot \omega ),$ to ponadto

$\text{Sz}(C([0,\alpha ]))={\omega }_1\cdot \omega ={\omega }^{{\omega }_1+1}.$

Bibliografia

• J. Vanderwerff, P. Hájek, S.V. Montesinos, V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, Springer-Verlag GmbH, Nowy Jork 2007, Szablon:ISBN. s. 62–85