Twierdzenie Riesza-Skorochoda

Szablon:Spis treści Twierdzenie Riesza-Skorochoda – twierdzenie z pogranicza teorii miary i analizy funkcjonalnej, postulujące, że dla nieujemnego funkcjonału liniowego, spełniającego warunek Skorochoda, istnieje dokładnie jedna miara, po której całka jest tym funkcjonałem.

Ustalenia wstępne

Ustalmy przestrzeń metryczną $(X,\varrho )$ i niech:

$ℬ(X)$ – σ-ciało wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni $X,$

$C(X)$ – przestrzeń wszystkich ciągłych i ograniczonych odwzorowań przestrzeni $X$ w $ℝ$ z normą supremum.

Funkcjonał liniowy $\phi :C(X)\to ℝ$ nazywamy nieujemnym, gdy $\phi (f)⩾0$ dla każdej ciągłej i ograniczonej funkcji $f:X\to [0,\mathrm{\infty }).$

Uwagi

• Każdy nieujemny funkcjonał liniowy $\phi :C(X)\to ℝ$ jest ciągły, $|\phi (f)|⩽\phi (|f|)$ oraz $\Vert \phi \Vert =\phi ({\mathrm{𝟏}}_X).$
• Jeżeli $\mu :ℬ(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$ jest miarą skończoną, to funkcjonał $\phi :C(X)\to ℝ$ dany wzorem

$\phi (f)=\underset{X}{\int }fd\mu$

jest liniowy i nieujemny, a jeżeli przestrzeń $(X,\varrho )$ jest przestrzenią polską, to spełniony jest:

Warunek Skorochoda

Dla każdego $\epsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $K\subset X,$ że

${\mathrm{\forall }}_{f\in C(X)}[f{|}_K=0\Rightarrow |\phi (f)|⩽\epsilon \Vert f\Vert ].$

Twierdzenie Riesza-Skorochoda

Jeżeli nieujemny funkcjonał liniowy $\phi :C(X)\to ℝ$ spełnia warunek Skorochoda, to istnieje dokładnie jedna taka miara $\mu :ℬ(X)\to [0,\mathrm{\infty }),$ że

$\phi (f)=\underset{X}{\int }fd\mu$ dla $f\in C(X).$

Wniosek

Dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego $\phi :C(X)\to ℝ$ istnieje dokładnie jedna taka σ-addytywna funkcja zbiorów $\nu :ℬ(X)\to ℝ,$ że

$\phi (f)=\underset{X}{\int }fd\nu$ dla $f\in C(X).$