Miara regularna

Szablon:Spis treści Miara regularna – miara określona na przestrzeni topologicznej dla której każdy zbiór mierzalny jest „niemal otwarty” i „niemal domknięty”.

Definicja

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś $𝔐$ oznacza σ-algebrę określoną na $X,$ która zawiera topologię $\tau$ (tak więc w ten sposób wszystkie zbiory otwarte i domknięte są mierzalne, czyli dana σ-algebra jest co najmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska). Niech $\mu$ będzie miarą na $(X,𝔐).$ Podzbiór mierzalny $A$ przestrzeni $X$ jest $\mu$-regularny, jeśli

$\mu (A)=\sup \{\mu (F):F\subseteq A,F\text{ - domkniety}\}$

oraz

$\mu (A)=\inf \{\mu (G):G\supseteq A,G\text{ - otwarty}\}.$

Równoważnie $A$ jest zbiorem $\mu$-regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\delta >0$ istnieją zbiory domknięty $F$ i otwarty $G$ takie, że

$F\subseteq A\subseteq G$

przy czym

$\mu (G\setminus F)<\delta .$

Jeżeli każdy zbiór mierzalny jest regularny, to miarę $\mu$ nazywa się regularną.

Niektórzy autorzy wymagają, by zbiór $F$ był zwarty (a nie tylko domknięty).

Przykłady

• Zgodnie z twierdzeniem o regularności miary Lebesgue’a: miara Lebesgue’a na prostej rzeczywistej jest miarą regularną.
• Dowolna borelowska miara prawdopodobieństwa na przestrzeni metrycznej jest regularna.
• Miara trywialna, która przypisuje zero dowolnemu zbiorowi mierzalnemu jest regularna.
• Trywialnym przykładem miary nieregularnej na prostej rzeczywistej z jej standardową topologią jest miara $\mu$ taka, że

$\mu (\varnothing )=0,$

$\mu (\{1\})=0$

oraz $\mu (A)=\mathrm{\infty }$ dla jakiegokolwiek innego zbioru $A.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę (zob. rozdział 2)
• Szablon:Cytuj książkę

Zobacz też

• miara borelowsko regularna,
• miara wewnętrznie regularna,
• miara zewnętrznie regularna.