Miara trywialna

Miara trywialna – miara przyporządkowująca każdemu zbiorowi mierzalnemu miarę zerową (zob. zbiór miary zero); równoważnie: miara jest trywialna wtedy i tylko wtedy, gdy miara całej przestrzeni jest równa zeru. Innymi słowy jest ona niezmiennicza (a więc quasi-niezmiennicza) dla dowolnej funkcji danej przestrzeni mierzalnej w siebie.

Własności

Niech $\mu$ oznacza miarę trywialną określoną na pewnej przestrzeni mierzalnej $(X,𝔐),$ która jest zarazem przestrzenią topologiczną taką, że $𝔐$ jest σ-algebrą borelowską na $X.$

• Miara $\mu$ trywialnie spełnia warunek regularności miary.
• Miara $\mu$ nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na $(X,𝔐),$ gdyż każdy zbiór mierzalny jest miary zero.
• Ponieważ $\mu (X)=0,$ to $\mu$ zawsze jest miarą skończoną, a stąd także lokalnie skończoną.
• Jeżeli $X$ jest przestrzenią Hausdorffa z jej σ-algebrą borelowską, to $\mu$ trywialnie spełnia warunek wewnętrznej regularności (ciasności/jędrności) miary. Wraz z powyższą własnością oznacza to, że $\mu$ jest wówczas miarą Radona. Istotnie, jest to wierzchołek stożka wszystkich nieujemnych miar Radona na $X.$
• Jeżeli $X$ jest nieskończeniewymiarową przestrzenią Banacha z jej σ-algebrą borelowską, to $\mu$ jest jedyną miarą na $(X,𝔐),$ która jest zarazem lokalnie skończona i niezmiennicza ze względu na wszystkie przesunięcia $X$ (zob. uwaga).
• Jeżeli $X$ jest $n$-wymiarową przestrzenią euklidesową ${ℝ}^n$ wraz z jej zwykłą σ-algebrą oraz $n$-wymiarową miarą Lebesgue’a ${\lambda }_n,$ to $\mu$ jest miarą osobliwą względem ${\lambda }_n.$ Wystarczy rozłożyć ${ℝ}^n$ na $A={ℝ}^n\setminus \{\mathrm{𝟎}\}$ oraz $B=\{\mathrm{𝟎}\}$ i zauważyć, że $\mu (A)={\lambda }_n(B)=0.$