Miara ściśle dodatnia

Szablon:Spis treści Miara ściśle dodatnia – miara, która „nigdzie nie znika” lub też „zeruje się tylko w punktach”.

Definicja formalna

Niech $(X,\tau )$ będzie topologiczną przestrzenią Hausdorffa, zaś $𝔐$ będzie σ-algebrą na $X$ zawierającą topologię $\tau ,$ co gwarantuje, że każdy zbiór otwarty jest mierzalny, zaś $𝔐$ jest przynajmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska na $X.$ Miarę $\mu$ określoną na $(X,𝔐)$ nazywa się ściśle dodatnią, jeżeli każdy niepusty podzbiór otwarty $X$ jest dodatniej miary.

W zwięźlejszym zapisie: $\mu$ jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy

${\mathrm{\forall }}_{\begin{array}{c}U\in \tau :\\ U\ne \varnothing \end{array}}\mu (U)>0.$

Przykłady

• Miara licząca określona na dowolnym zbiorze $X$ (wyposażonym w jakąkolwiek topologię) jest ściśle dodatnia.
• Miara Diraca zwykle nie jest ściśle dodatnia, o ile topologia $\tau$ nie jest dostatecznie „uboga” (ma „mało” zbiorów). Przykładowo ${\delta }_0$ określona na prostej rzeczywistej z jej standardowymi, borelowskimi topologią i σ-algebrą nie jest ściśle dodatnia; jednakże, jeśli $ℝ$ jest wyposażona w trywialną topologię $\tau =\{\varnothing ,ℝ\},$ to ${\delta }_0$ jest ściśle dodatnia. Przykład ten ilustruje istotność topologii przy określaniu ścisłej dodatniości miary.
• Miara Gaussa na przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^n$ (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest lokalnie skończona.
  • miara Wienera na przestrzeni dróg w ${ℝ}^n$ jest ściśle dodatnia – miara Wienera jest przykładem miary Gaussa na nieskończeniewymiarowej przestrzeni.
• Miara Lebesgue’a na ${ℝ}^n$ (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest ściśle dodatnia.
• Miara trywialna nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na przestrzeń, czy użytą topologię.

Własności

• Jeżeli $\mu ,\nu$ są miarami określonymi na topologicznej przestrzeni mierzalnej $(X,𝔐),$ przy czym $\mu$ jest ściśle dodatnia, a ponadto bezwzględnie ciągła względem $\nu ,$ to $\nu$ także jest ściśle dodatnia.
• Na mocy powyższej własności ścisła dodatniość jest niezmiennikiem względem równoważności miar.

Zobacz też

• nośnik miary: miara jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy jej nośnikiem jest cała przestrzeń.