Miara Diraca

Miara Diraca – miara, która zbiorowi (mierzalnemu) $A$ przestrzeni mierzalnej $X$ przypisuje wartość 1, jeżeli $A$ zawiera ustalony punkt $x$ należący do $X;$ w przeciwnym wypadku miara Diraca zbioru $A$ wynosi 0.

Definicja

Diagram pokazuje wszystkie podzbiory zbioru $\{x,y,z\}.$ Miara Diraca ${\delta }_x$ przyjmuje wartość 1 dla podzbiorów zawierających element $x,$ zaś wartość 0 dla pozostałych podzbiorów

Jeżeli $(X,𝔐)$ jest przestrzenią mierzalną oraz $x$ jest elementem przestrzeni $X,$ to miarą Diraca skoncentrowaną w punkcie $x$ nazywa się miarę ${\delta }_x$ taką, że dla dowolnego zbioru mierzalnego $A\in 𝔐:$

${\delta }_x(A)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in A,\\ 0,& x\notin A.\end{array}$

Miara Diraca jest miarą probabilistyczną.

Nazwa miary pochodzi od funkcji delta Diraca, będącej dystrybucją na prostej rzeczywistej (miary można uważać za specjalny rodzaj dystrybucji). Dla miary Diraca i dowolnej funkcji mierzalnej $f$ na $X$ zachodzi tożsamość:

$\underset{X}{\int }f(y)\mathrm{d}{\delta }_x(y)=f(x)$

lub w równoważnej formie

$\underset{X}{\int }f(y){\delta }_x(y)\mathrm{d}y=f(x).$

Powyższa tożsamość jest często używana w definicji delty Diraca; używa się jej także w całce Lebesque’a.

Własności

Niech ${\delta }_x$ oznacza miarę Diraca określoną w pewnym punkcie $x$ przestrzeni mierzalnej $(X,𝔐).$

• ${\delta }_x$ jest miarą probabilistyczną (w szczególności jest miarą skończoną).

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną, a $𝔐$ będzie σ-ciałem podzbiorów $X$ zawierającym wszystkie borelowskie podzbiory $X$ oraz niech ${\delta }_x$ jest miarą Diraca skoncentrowaną w pewnym punkcie $x$ przestrzeni $X.$

• Miara Diraca jest miarą ściśle dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią typu T₀.
• Miara Diraca, jako miara skończona, jest w szczególności lokalnie skończona.
• Miara Diraca jest wewnętrzną regularna: wszystkie zbiory jednoelementowe są zwarte. W szczególności miary Diraca są miarami Radona.
• Jeśli zbiór $\{x\}$ jest domknięty w topologii $\tau ,$ to jest on nośnikiem miary ${\delta }_x$ (w przeciwnym przypadku nośnikiem ${\delta }_x$ jest domknięcie zbioru $\{x\}$ w rozważanej topologii). Miary Diraca (na przestrzeniach typu T₁) są jedynymi miarami probabilistycznymi o jednopunktowym nośniku.
• Jeżeli $X$ jest $n$-wymiarową przestrzenią euklidesową ${ℝ}^n$ z $\sigma$-algebrą zbiorów borelowskich oraz $n$-wymiarową miarą Lebesgue’a ${\lambda }^n,$ to ${\delta }_x$ jest miarą osobliwą względem ${\lambda }^n:$ ${ℝ}^n=A\cup B,$ gdzie

$A={ℝ}^n\setminus \{x\},$ $B=\{x\}$ oraz

${\delta }_x(A)={\lambda }^n(B)=0.$