Nośnik miary

Nośnik miary – pojęcie analogiczne do pojęcia nośnika funkcji. Nie jest to jednak podzbiór σ-algebry, na której miara jest określona, lecz podzbiór przestrzeni, w której jest ona zdefiniowana. Dla rozkładów prawdopodobieństwa nośnikiem miary jest zbiór wszystkich wartości, które może przyjąć zmienna losowa.

Definicja

Niech $(X,𝒯)$ będzie przestrzenią topologiczną i niech $\mu$ będzie miarą borelowską na $X.$ Nośnikiem miary μ nazywamy zbiór wszystkich tych punktów z $X,$ których każde otoczenie otwarte ma dodatnią miarę:

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\mu ):=\{x\in X|\mathrm{\forall }x\in N_x\in 𝒯,\mu (N_x)>0\}.$

Niekiedy jako nośnik miary definiuje się domknięcie tego zbioru, jednak jest to zbędne, gdyż powyższy zbiór jest domknięty.

Związek z pojęciem nośnika funkcji

Należy zwrócić uwagę na istotną różnicę w pojęciu nośnika funkcji i nośnika miary. Miara jest pewną funkcją z pewnej σ-algebry podzbiorów danej przestrzeni w zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. Nośnik miary interpretowany jako nośnik tej funkcji nie jest tym samym co nośnik miary zdefiniowany powyżej. Pierwsze z tych pojęć oznacza pewien podzbiór σ-algebry, na której określona jest miara (mianowicie zbiór tych zbiorów z tej σ-algebry, które maja miarę dodatnią) podczas gdy drugie oznacza pewien podzbiór samej przestrzeni, w której zdefiniowano miarę.

Przykłady

Nośnikiem miary Lebesgue’a na zbiorze liczb rzeczywistych $ℝ$ jest cały zbiór $ℝ.$

Nośnikiem miary Diraca skoncentrowanej w punkcie $p\in ℝ$ jest $\{p\}.$