Miara licząca

Miara licząca – miara, która przyporządkowuje zbiorowi liczbę jego elementów – gdy jest to zbiór skończony lub nieskończoność – gdy jest to zbiór nieskończony.

Miara ta pozwala sformułować kryteria zbieżności szeregów poprzez zastosowanie do ciągów twierdzeń teorii całki Lebesgue’a (m.in. o zbieżności monotonicznej, o zbieżności ograniczonej, Fubiniego, lematu Fatou, zob. dalej).

Definicja

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem, niech $P(X)$ będzie zbiorem potęgowym zbioru $X$(tj. rodziną wszystkich jego podzbiorów). Niech $|A|$ oznacza liczbę elementów zbioru, gdy jest on skończony.

Funkcja $\mu :P(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$ określona wzorem

$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}|A|,& \text{gdy }A\text{ jest zbiorem skończonym},\\ \mathrm{\infty },& \text{gdy }A\text{ jest zbiorem nieskończonym},\end{array}$

jest miarą nazywaną miarą liczącą na zbiorze $X$ (zob. zbiór skończony).

Przykład: Przestrzenie $L_p(\mathrm{\Gamma },\mu )$

Szablon:Zobacz też Niech dana będzie przestrzeń funkcji $f$ określonych na zbiorze $X,$ które:

• mają wartości skalarne,
• przyjmują co najwyżej przeliczalnie wiele niezerowych wartości,
• są sumowalne w $p$-tej potędze, tzn. dla każdej funkcji $f$ tej przestrzeni oraz dla $p\in [0,\mathrm{\infty })$ liczba

$\Vert f{\Vert }_p={\left(\sum _{i\in X}\right|f(i){|}^p)}^{\frac{1}{p}}$

jest liczbą skończoną (przy czym sumowanie przebiega po miejscach niezerowych funkcji).

Z definicji widać, że na zbiorze $X$ określona została miara licząca.

Przestrzeń powyżej zdefiniowaną oznacza się symbolem ${\ell }_p(X)$ i czyta się: przestrzeń funkcyjna funkcji sumowalnych w $p$-tej potędze, określonych na zbiorze $X.$

Twierdzenia

Tw. 1 Przestrzenie ${\ell }_p(X)$ są szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnych $L_p(X,\mu ),p\in [0,\mathrm{\infty })$ z dowolną miarą $\mu$.

Tw. 2 Przestrzeń ${\ell }_p(X)$ jest:

• przestrzenią unormowaną, przy czym norma zadana jest wzorem

  $\Vert f{\Vert }_p={\left(\sum _{i\in X}\right|f(i){|}^p)}^{\frac{1}{p}},$

• przestrzenią metryczną, z metryką generowaną przez normę, tj.

  $d(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_p={\left(\sum _{i\in X}\right|f(i)-g(i){|}^p)}^{\frac{1}{p}},$

• przestrzenią metryczną zupełna, czyli przestrzenią Banacha.

Tw. 3: Przestrzenie ${\ell }_p(X)$ są refleksywne wtedy i tylko wtedy, gdy $p\in (1,\mathrm{\infty }).$

Tw. 4 (o izometrycznym izomorfizmie)

Niech $p\in [1,\mathrm{\infty }),$ niech $q$ będzie wykładnikem sprzężonym do $p.$ Istnieje wówczas izometryczny izomorfizm

$({\ell }_p(X){)}^{*}\cong {\ell }_q(X)$

wprowadzany przez standardowe parowanie

$⟨f,g⟩=\sum _{i\in X}f(i)g(i),$

gdzie oraz $g\in {\ell }_p(X).$