Lemat Fatou

Lemat Fatou – lemat noszący nazwisko Pierre’a Fatou, który daje ograniczenie górne na wartość całki Lebesgue’a funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Lemat Fatou jest jednym z trzech, obok twierdzeń o zbieżności monotonicznej i ograniczonej (oba autorstwa Henriego Lebesgue’a), podstawowych twierdzeń granicznych analizy i teorii miary. Wykorzystywany jest w niektórych dowodach twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej oraz zupełności przestrzeni $L^p$ oraz w teorii prawdopodobieństwa przy wyznaczaniu wartości oczekiwanych pewnych zmiennych losowych.

Lemat

Szablon:Zobacz też Niech $f_k:X\to [0,+\mathrm{\infty }]$ będą funkcjami $\mu$-mierzalnymi określonymi na wspólnej przestrzeni z miarą $(X,\mu )$ dla $k=1,\dots .$ Wówczas

$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_k\mathrm{d}\mu ⩽\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_k\mathrm{d}\mu .$

Uwaga

Jeśli funkcje $f_k$ są sumowalne (całkowalne) i prawa strona nierówności jest skończona, to sumowalna (całkowalna) jest również funkcja podcałkowa po lewej stronie nierówności.

Dowód

Pierre Fatou (1878-1929)

Niech $g:=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j{\chi }_{A_j}$ oznacza nieujemną funkcję prostą mniejszą lub równą $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_k.$ Niech ponadto zbiory $\mu$-mierzalne $\{A_j{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}$ będą rozłączne oraz $a_j>0$ dla $j=1,\dots .$

Niech $0<t<1$ będzie ustalone. Wówczas

$A_j=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{j,k},$

gdzie:

$B_{j,k}:=A_j\cap \{x\in X:f_l(x)>t{a}_j\text{dla wszystkich}l⩾k\}.$

Ponieważ

$A_j\supseteq B_{j,k+1}\supseteq B_{j,k}(k=1,\dots ),$

zatem

$\int f_k\mathrm{d}\mu ⩾\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{A_j}{\int }{f}_k\mathrm{d}\mu ⩾\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{B_{j,k}}{\int }{f}_k\mathrm{d}\mu ⩾t\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j\mu \left(B_{j,k}\right);$

stąd zaś

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_k\mathrm{d}\mu ⩾t\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j\mu (A_j)=t\int g\mathrm{d}\mu .$

Nierówność ta obowiązuje dla każdego $0<t<1,$ a każda funkcja prosta $g$ jest mniejsza lub równa $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_k.$ Dlatego

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_k\mathrm{d}\mu ⩾\underset{*}{\int }\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_k\mathrm{d}\mu =\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_k\mathrm{d}\mu ,$

gdzie $\underset{*}{\int }$ oznacza całkę dolną.

Zobacz też

• twierdzenie Lebesgue’a-Fatou
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• twierdzenie Fubiniego

Uwagi

Szablon:Uwagi