Twierdzenie Fubiniego

Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary; pozwala zastępować całki wielokrotne całkami pojedynczymi, tj. z funkcji jednej zmiennej.

W pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że $f:[a,b]\times [c,d]⟶ℝ$ jest funkcją ciągłą. Wówczas

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx=\underset{c}{\overset{d}{\int }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx)dy=\underset{[a,b]\times [c,d]}{\int }f(x,y)dxdy.$

Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.

Postać ogólna twierdzenia

Niech $(X,ℱ,\mu )$ i $(Y,𝒢,\nu )$ będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech $\lambda =\mu \otimes \nu$ będzie miarą produktową.

• Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja $h:X\times Y⟶ℝ$ jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:

(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),

(b) jeśli dla $x\in X$ położymy $f(x)=\underset{Y}{\int }h(x,y)d\nu ,$ a dla $y\in Y$ określimy $g(y)=\underset{X}{\int }h(x,y)d\mu ,$ to otrzymane funkcje $f:X⟶ℝ$ i $g:Y⟶ℝ$ są całkowalne (odpowiednio względem μ i ν) oraz

$\underset{X\times Y}{\int }hd\lambda =\underset{X}{\int }fd\mu =\underset{Y}{\int }gd\nu .$

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

• Przypuśćmy, że $E\subseteq X\times Y$ jest zbiorem mierzalnym (tzn. $E\in ℱ\otimes 𝒢$). Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) $\lambda (E)=0,$

(ii) $\mu \left(\{x\in X:\nu (\{y\in Y:(x,y)\in E\})\ne 0\}\right)=0,$

(iii) $\nu \left(\{y\in Y:\mu (\{x\in X:(x,y)\in E\})\ne 0\}\right)=0.$

Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.

Przykłady

Zastosowanie do obliczenia całki Gaussa

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

$I(a)=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x.$

Gdyby było wiadomo, że całka

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$

jest bezwzględnie zbieżna, to jej wartość byłaby równa granicy

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(a)$

tj. całce

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x.$

Jest tak istotnie, zważywszy na oszacowanie

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|e^{-x^2}|\mathrm{d}x<\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-1}{\int }}-x{e}^{-x^2}\mathrm{d}x+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x+\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-x^2}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }.$

Podnosząc $I(a)$ do kwadratu otrzymujemy

$\begin{array}{cc}I(a{)}^2& =\left(\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x\right)\left(\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-y^2}\mathrm{d}y\right)\\ & =\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\left(\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-y^2}\mathrm{d}y\right)e^{-x^2}\mathrm{d}x\\ & =\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}y\mathrm{d}x.\end{array}$

Z twierdzenia Fubiniego wynika zatem, że powyższa całka równa jest całce

$\underset{[-a,a]\times [-a,a]}{\iint }{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}(x,y),$

tj. całce, której obszarem całkowania jest kwadrat o wierzchołkach {(–a, a), (a, a), (a, –a), (–a, –a)}.

Z nieujemności funkcji potęgowej wynika, że całka z funkcji $e^{-(x^2+y^2)}$ po dowolnym kole zawartym w kwadracie $[-a,a]\times [-a,a]$ nie przekracza całki z tej funkcji po rzeczonym kwadracie. Stosując współrzędne biegunowe:

$\begin{array}{cc}x& =r\cos \theta \\ y& =r\sin \theta \end{array}$

$𝐉(r,\theta )=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right]$

$d(x,y)=|J(r,\theta )|\mathrm{d}(r,\theta )=r\mathrm{d}(r,\theta ).$

do całek po kołach otrzymujemy nierówność

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{a}{\int }}r{e}^{-r^2}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta <I^2(a)<\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{a\sqrt{2}}{\int }}r{e}^{-r^2}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta .$

Odcałkowując, otrzymujemy oszacowanie:

$\pi (1-e^{-a^2})<I^2(a)<\pi (1-e^{-2a^2}).$

Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }.$

Funkcja niecałkowalna

Rozważmy całki

$A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dydx$ oraz $B=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dxdy.$

Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać, że $A=-B.$ Pokażemy, że $A\ne 0,$ a więc także $A\ne B.$

Do obliczenia całki

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dy$

użyjemy podstawienia trygonometrycznego $y=x\mathrm{tg}(\theta ).$ Tak więc

$dy=x{\sec }^2(\theta )d\theta$ oraz $x^2+y^2=x^2+x^2{\mathrm{tg}}^2(\theta )=x^2(1+{\mathrm{tg}}^2(\theta ))=x^2{\sec }^2(\theta ).$

Granice całkowania $0⩽y⩽1$ dają nam $0⩽x\mathrm{tg}(\theta )⩽1,$ czyli $0⩽\mathrm{tg}(\theta )⩽1/x,$ a stąd $0⩽\theta ⩽\arctan (1/x).$ Zatem

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dy=$

$\underset{0}{\overset{\arctan (1/x)}{\int }}\frac{x^2(1-{\mathrm{tg}}^2(\theta ))}{(x^2{\sec }^2(\theta ){)}^2}x{\sec }^2(\theta )d\theta =\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{\arctan (1/x)}{\int }}\frac{1-{\mathrm{tg}}^2(\theta )}{{\sec }^2(\theta )}d\theta$

$=\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{\arctan (1/x)}{\int }}{\cos }^2(\theta )-{\sin }^2(\theta )d\theta =\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{\arctan (1/x)}{\int }}\cos (2\theta )d\theta =\frac{1}{x}{\left[\frac{\sin (2\theta )}{2}\right]}_{\theta :=0}^{\theta =\arctan (1/x)}$

$=\frac{1}{x}{[\sin (\theta )\cos (\theta )]}_{\theta :=0}^{\theta =\arctan (1/x)}=\frac{1}{x}\sin (\arctan (1/x))\cos (\arctan (1/x)).$

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

$\sin (\arctan (1/x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ oraz $\cos (\arctan (1/x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$

Zatem

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dy=\frac{1}{x}\sin (\arctan (1/x))\cos (\arctan (1/x))=\frac{1}{1+x^2}.$

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

$A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dydx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx={[\arctan (x)]}_0^1=\arctan (1)-\arctan (0)=\frac{\pi }{4}.$

Tak więc

$A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dydx=\frac{\pi }{4}$ oraz $B=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dxdy=-\frac{\pi }{4}.$

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji $f:[0,1]\times [0,1]\setminus \{(0,0)\}⟶ℝ:(x,y)\mapsto \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}.$ Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue’a). I rzeczywiście,

$\underset{[[0,1]\times [0,1]}{\int }\left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}\right|d(x,y)=\mathrm{\infty }.$

Zobacz też

• lemat Fatou
• twierdzenie Fichtenholza-Lichtensteina
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-06-20].
• Szablon:Otwarty dostęp Fubini theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].