Funkcja całkowalna

Szablon:Dopracować Funkcja całkowalna – funkcja, dla której istnieje całka w sensie danej teorii całki (Riemanna, Lebesgue’a, Henstocka-Kurzweila, Stieltjesa itp.)

Całkowalność w sensie Newtona-Riemanna

Całka z funkcji ciągłej na przedziale skończonym

Twierdzenie Newtona-Leibniza:

Jeśli $f$ jest ciągła na przedziale skończonym, a $F$ jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi wzór Newtona-Leibniza

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$

Funkcje ciągłe są więc całkowalne na przedziałach skończonych. To samo dotyczy funkcji ograniczonych, ale nieciągłych w przeliczalnej liczbie punktów przedziału całkowania – wtedy całkując na poszczególnych odcinkach, wewnątrz których funkcja jest ciągła, a następnie sumując uzyskane wyniki, uzyska się całkę z całego przedziału.

Całki niewłaściwe

Pole pod wykresem powyższej funkcji na przedziale od zera do nieskończoności jest skończone, równe $\pi /2$

Całki niewłaściwe to całki określane na przedziałach nieskończonych lub dla funkcji, które rozbiegają się do nieskończoności w punktach wewnętrznych lub brzegowych przedziału całkowania. Istnienie tych całek jest zależne od spełnienia poniżej podanych warunków.

Całki na przedziałach nieskończonych

Niech dla każdego $A>a$ funkcja $f:[a,\mathrm{\infty })\to ℝ$

jest całkowalna w przedziale skończonym $[a,A].$ Wtedy granicę

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{A\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{A}{\int }}f(x)dx$

nazywa się całką niewłaściwą funkcji $f$ w granicach od $a$ do $\mathrm{\infty }.$

Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od $-\mathrm{\infty }$ do $a$ i od $-\mathrm{\infty }$ do $\mathrm{\infty }:$

Przykład: Całka z funkcji $f(x)=\cos x$ nie istnieje na przedziale nieskończonym, np. $[0,+\mathrm{\infty }),$ gdyż:

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (x)dx=\underset{A\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{A}{\int }}\cos (x)dx=\underset{A\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sin (x){|}_0^A$$=\underset{A\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sin (A)-\sin (0)=\underset{A\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sin (A)$

Jednak granica z funkcji sinus nie istnieje w nieskończoności, gdyż funkcja ta oscyluje miedzy $-1$ a $+1.$ Z tego powodu nie istnieje całka niewłaściwa z funkcji cosinus.

Całka funkcji nieograniczonej

Całka z funkcji rozbieżnej do nieskończoności na brzegu granicy całkowania może być skończona

Niech

$f:[a,b)\to ℝ$

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale $[a,b-\eta ],$ gdzie $0<\eta <b-a,$ oraz jest nieograniczona w każdym przedziale $[b-\eta ,b)$ na lewo od punktu $b$ (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji $f$). Granicę

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x=\underset{\eta \to 0}{\lim }\underset{a}{\overset{b-\eta }{\int }}f(x)\text{d}x$

nazywa się całką niewłaściwą funkcji $f$ w przedziale $[a,b].$ Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna.

Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwa, gdy punkt osobliwy jest a lewej strony przedziału całkowania, a także, gdy jest ma obu końcach przedziału całkowania.

Jeśli zaś w przedziale całkowania jest więcej punktów osobliwych, to całkę liczy się jako sumę całek niewłaściwych, obliczonych na odcinkach, wewnątrz których funkcja jest ciągła.

Przykład: Rozważmy funkcję $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ na przedziale $(0,1].$ Chcemy obliczyć całkę

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx.$

Ta całka jest niewłaściwa, ponieważ funkcja $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ma nieciągłość w punkcie $x=0.$

Zapisujemy całkę niewłaściwą jako granicę

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{ϵ}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Teraz obliczamy całkę oznaczoną: $\underset{ϵ}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2x^{\frac{1}{2}}{|}_{ϵ}^1=2(1)-2({ϵ}^{\frac{1}{2}})=2-2\sqrt{ϵ}$

Dalej, obliczamy granicę: $\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }(2-2\sqrt{ϵ})=2-2\cdot 0=2$

Wynik: całka $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ jest niewłaściwa, ale jest zbieżna i jej wartość wynosi 2.

Całkowalność z kwadratem

Def. całkowalności z kwadratem

Funkcję zmiennej rzeczywistej bądź zespolonej nazywamy całkowalną z kwadratem na danym przedziale (a, b), jeżeli całka kwadratu jej wartości bezwzględnej / modułu jest skończona, przy czym pojęcie to dotyczy zarówno całek na przedziałach skończonych, jak i całek niewłaściwych – określonych na przedziałach nieskończonych lub na przedziałach, gdzie funkcja rozbiega do nieskończoności, tj.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x){|}^{2}dx<+\mathrm{\infty }$

– całka oznaczona

$\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx<+\mathrm{\infty }$

– jeden z możliwych typów całek niewłaściwych

Tw. o przestrzeni liniowej funkcji całkowalnych z kwadratem

Zbiór wszystkich funkcji mierzalnych całkowalnych z kwadratem, w sensie Lebesgue’a, stanowi przestrzeń liniową, która jest przestrzenią Hilberta – jest to tzw. przestrzeń L², w której funkcje równe prawie wszędzie są ze sobą utożsamiane (formalnie L² jest przestrzenią ilorazową przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem przez podprzestrzeń funkcji, które znikają prawie wszędzie).

Funkcje tego rodzaju są szczególnie użyteczne w mechanice kwantowej, ponieważ funkcje falowe muszą być całkowalne z kwadratem na całej przestrzeni, aby teoria dawała sensowne fizycznie rozwiązania.

Całkowalność w sensie Lebesgue’a

Szablon:Osobny artykuł Dla danego zbioru $X$ z określoną na nim σ-algebrą $𝔐$ i miarą $\mu$ określoną na $𝔐$ rzeczywista funkcja $f:X\to ℝ$ jest całkowalna, jeżeli tak jej część dodatnia $f^{+}=\max (f,0),$ jak i ujemna $f^{-}=\max (-f,0)$ są funkcjami mierzalnymi o skończonej całce Lebesgue’a. Jest to równoważne temu, by skończona była całka z funkcji $|f|=f^{+}+f^{-}.$ Wówczas całkę Lebesgue’a funkcji $f$ definiuje się wówczas wzorem

$\int f:=\int f^{+}-\int f^{-}.$

Czasami funkcję całkowalną w powyższym sensie nazywa się sumowalną, zaś termin „funkcja całkowalna” zarezerwowany jest dla funkcji $f,$ dla której skończona jest choć jedna z całek po prawej stronie powyższego wzoru.

Dla liczby rzeczywistej $p⩾0$ funkcję $f$ nazywa się $p$-sumowalną, jeżeli sumowalna jest funkcja $|f{|}^p.$ Wielu autorów stosuje jednak to nazewnictwo tylko wtedy, gdy $f$ jest ciągiem, a $\mu$ jest dyskretna; w przypadku ogólnym nazywając $f$ funkcją $p$-całkowalną. Dla $p=1$ mówi się czasem, że $f$ jest bezwzględnie sumowalna / całkowalna.

Przestrzenie L^p funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a w p-tej potędze są jednym z głównych obiektów badań analizy funkcjonalnej.

Zobacz też

• Funkcja lokalnie całkowalna