Całka niewłaściwa

Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe $\pi /2$

Całka niewłaściwa – rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona. W obu przypadkach jest to granica pewnej funkcji zdefiniowanej przez całkę.

Ustalenia wstępne

Całka na przedziale nieograniczonym

Niech dla każdego $A>a$ funkcja

$f:[a,\mathrm{\infty })\to ℝ$

jest całkowalna w przedziale $[a,A].$ Granicę

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{A\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{A}{\int }}f(x)dx$

nazywa się całką niewłaściwą funkcji $f$ w granicach od $a$ do $\mathrm{\infty }.$ Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od $-\mathrm{\infty }$ do $a$ i od $-\mathrm{\infty }$ do $\mathrm{\infty }:$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=\underset{A\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A}{\overset{a}{\int }}f(x)dx,$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{A\to -\mathrm{\infty },B\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A}{\overset{B}{\int }}f(x)dx.(*)$

Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx,(**)$

gdzie $c$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia $(**)$ powoduje istnienie granicy z $(*),$ jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę $(*)$ można zdefiniować przez wyrażenie $(**).$

Całka funkcji nieograniczonej

Niech

$f:[a,b)\to ℝ$

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale $[a,b-\eta ],$ gdzie $0<\eta <b-a,$ oraz jest nieograniczona w każdym przedziale $[b-\eta ,b)$ na lewo od punktu $b$ (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji $f$). Granicę

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x=\underset{\eta \to 0}{\lim }\underset{a}{\overset{b-\eta }{\int }}f(x)\text{d}x$

nazywa się całką niewłaściwą funkcji $f$ w przedziale $[a,b].$ Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt $a$ jest punktem osobliwym.

W przypadku, gdy oba punkty $a,b$ są punktami osobliwymi, metoda definiowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,$ tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x,a<c<b.$

Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definiuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definiowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.

Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki

Niech $f$ będzie funkcją określoną na pewnym przedziale $(a,b)$ poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x$

nazywa się zbieżną bezwzględnie, jeżeli całka

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\text{d}x$

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka $I,$ ale nie istnieje całka modułu, całkę $I$ nazywa się zbieżną warunkowo.

Dla przykładu, całka

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\text{d}x=\frac{\pi }{2}$

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\sin x|}{x}\text{d}x.$

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych

Badanie zbieżności szeregu

Całka niewłaściwa $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x$ istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_n)$ punktów przedziału $[a,b],$ gdzie

$a=x_0<x_1<\dots <x_n<\dots <b$

oraz

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=b$

szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{x_{n-1}}{\overset{x_n}{\int }}f(x)\text{d}x$

jest zbieżny.

Kryterium porównawcze

Jeżeli funkcje

$f,g:[a,\mathrm{\infty })\to ℝ$

są nieujemne oraz istnieje taka liczba $A⩾a,$ że dla każdego $x⩾A$ zachodzi nierówność $f(x)⩽g(x),$ oraz całka $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)\text{d}x$ jest zbieżna, to również całka $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\text{d}x$ jest zbieżna.

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:

Kryterium asymptotyczne

Jeżeli istnieje granica

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=K,$

to

• gdy $K<\mathrm{\infty },$ ze zbieżności całki $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)\text{d}x$ wynika zbieżność całki $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\text{d}x$ (a to, przez kontrapozycję, jest równoważne temu, iż z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej),
• gdy $K>0,$ z rozbieżności całki $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)\text{d}x$ wynika rozbieżność całki $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\text{d}x$ (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej).

Ostatecznie, w przypadku, gdy $0<K<\mathrm{\infty }$ obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

Kryterium Abela

Załóżmy, że funkcje $f,g:[a,\mathrm{\infty })\to ℝ$ są takie, że

1) $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ jest zbieżna;

2) funkcja $g(x)$ jest monotoniczna i ograniczona.

Wówczas całka

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)dx$

jest zbieżna.

Kryterium Dirichleta

Szablon:Osobny artykuł Załóżmy, że funkcja $f:[a,\mathrm{\infty })\to ℝ$ jest całkowalna w każdym przedziale $[a,A]$ oraz

1) istnieje taka liczba nieujemna $K,$ że dla każdego $A$

$|\underset{a}{\overset{A}{\int }}f(x)dx|⩽K;$

2) funkcja $g:[a,\mathrm{\infty })\to ℝ$ jest zbieżna monotonicznie do $0$ przy $x\to \mathrm{\infty }.$

Wówczas całka

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)dx$

jest zbieżna.

Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonej

Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą analizy zespolonej.

Całka funkcji wymiernej

Wszystkie funkcje wymierne $\frac{P(z)}{Q(z)},$ których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na liczbach zespolonych.

W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania $\mathrm{\Gamma }$ znajdą się bieguny $z_1,z_2,\dots ,z_n$ funkcji $f$ i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z_k}f(z),$

gdzie $\mathrm{\Gamma }$ to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Oznacza to, że całkę postaci

$\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-R}{\overset{+R}{\int }}f(z)dz$

możemy rozpatrywać jako sumę całek od $-R$ do $+R$ wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu $R$ przechodzącym przez punkty $+R,$ $Ri,$ $-R$ i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=2\pi i\sum _{k=1}^N{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z_k}f(z)$

przy założeniu, że wszystkie punkty $z_1,z_2,\dots ,z_N$ znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.

Całka funkcji wymiernej z funkcjami trygonometrycznymi

Szablon:Dopracować Całki funkcji postaci $f(x)\sin ax$ bądź $f(x)\cos ax$ liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\sin axdx=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }{e}^{azi}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^N{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z_k}{e}^{azi}f(z)$

bądź

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\cos axdx=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }{e}^{azi}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^N{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z_k}{e}^{azi}f(z).$

Przykłady

Przykładem całki na przedziale nieskończonym jest całka

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{x^2}dx.$

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{1}{x}){|}_1^t=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{1}{t}-(-\frac{1}{1}))=1,$

i taka jest wartość szukanej całki.

Przykładem całki funkcji nieograniczonej jest całka

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\underset{t}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx.$

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\underset{t}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\left(2\sqrt{x}\right){|}_t^1=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }(2\sqrt{1}-2\sqrt{t})=2,$

i taka jest wartość szukanej całki.

Całki występujące w definicji niektórych rozkładów prawdopodobieństwa

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}\text{d}x=\sqrt{2\pi }\sigma$ – całka Gaussa, występuje w rozkładzie Maxwella.
• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha }{e}^{-x}\text{d}x=\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)$ – całka występująca w rozkładzie Boltzmanna.
• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{\alpha }\text{d}x}{e^x-1}=\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)\zeta (\alpha +1)$ – całka występująca w rozkładzie Bosego-Einsteina.
• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{\alpha }\text{d}x}{e^x+1}=\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)\eta (\alpha +1)$ – całka występująca w rozkładzie Fermiego-Diraca.

W tych przykładach

$\alpha$ – dowolna dodatnia liczba rzeczywista,

$\mathrm{\Gamma }(z)$ – funkcja gamma Eulera,

$\zeta (z)$ – funkcja zeta Riemanna,

$\eta (z)$ – funkcja eta Dirichleta.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Wprowadzenie do całek niewłaściwych, kanał Khan Academy na YouTube, 16 sierpnia 2017 [dostęp 2024-06-23].
• Szablon:Otwarty dostęp Helena Kazieko, Całka niewłaściwa, kanał Nauka / Science SGGW na YouTube, 7 maja 2020 [dostęp 2024-08-03].