Statystyka Fermiego-Diraca

Oś pozioma: $E/\mu .$ Oś pionowa: $⟨n⟩.$ Dla $E=\mu$ zachodzi $⟨n⟩=0,5.$

Porównanie statystyk kwantowych.

Statystyka Fermiego-Diraca – statystyka dotycząca fermionów – cząstek o spinie połówkowym, które obowiązuje zakaz Pauliego. Zgodnie z zakazem Pauliego w danym stanie kwantowym nie może znajdować się więcej niż jeden fermion. Statystyka Fermiego-Diraca oparta jest również na założeniu nierozróżnialności cząstek.

Jego nazwa rozkładu pochodzi nazwisk fizyków Enrica Fermiego-Paula Diraca, którzy niezależnie od siebie wyprowadzili tę zależność w 1926 roku.

Zgodnie z rozkładem Fermiego-Diraca średnia liczba cząstek w niezdegenerowanym stanie energetycznym $E$ dana jest przez

$⟨n⟩=\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\beta (E-\mu )}+1},$

gdzie:

$E$ – energia tego stanu,

$\mu$ – potencjał chemiczny,

$\beta =1/(k_{\mathrm{B}}T),$

$k_{\mathrm{B}}$ – stała Boltzmanna,

$T$ – temperatura bezwzględna (w skali Kelvina).

Rozkład Fermiego-Diraca – elektrony

Rozkład Fermiego-Diraca opisuje sposób obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony w układzie wieloelektronowym (np. gaz elektronów w metalach i półprzewodnikach).

Zgodnie z zakazem Pauliego, w każdym stanie kwantowym może się znajdować co najwyżej jeden elektron, a każdy poziom energetyczny może być obsadzony przez co najwyżej dwa elektrony o przeciwnych spinach.

W temperaturze większej od zera bezwzględnego prawdopodobieństwo $P$ obsadzenia $k$-tego stanu, o energii $E_k,$ jest tym mniejsze, im większa jest ta energia. Przy zmniejszaniu $E_k$ prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie $k$ wzrasta, jednak nie przekracza jedności.

Zależność tę wyraża funkcja rozkładu Fermiego-Diraca:

$P(E_k)=\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\beta (E_k-\mu )}+1}.$

W temperaturze zera bezwzględnego wprowadza się oznaczenie $\mu =\mu (0)=E_{\mathrm{F}},$ jest to energia najwyżej obsadzonego stanu ($k_{\mathrm{F}}$ – poziom Fermiego) w temperaturze zera bezwzględnego. W tej temperaturze obsadzone są wszystkie stany o energii mniejszej lub równej energii Fermiego $(E_{\mathrm{F}}),$ a wyższe stany nie są obsadzone.

Dla każdej temperatury $T$ zachodzi $P(E_k)=0,5,$ gdy $E_k=\mu .$

Dla takich energii, że $E_k-\mu \gg k_{\mathrm{B}}T$ rozkład przechodzi w klasyczny rozkład Boltzmanna:

$P(E_k)\approx \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\beta (E_k-\mu )}}={\mathrm{e}}^{-\beta (E_k-\mu )}.$

Zobacz też

• gaz Fermiego
• statystyka Bosego-Einsteina
• statystyka Maxwella-Boltzmanna