Statystyka (funkcja)

Szablon:Definicja intuicyjnaStatystyka, statystyka z próby to – w najprostszym ujęciu – liczbowa charakterystyka próby losowej. Ponieważ próba jest losowa, statystyka, jako funkcja próby, jest zmienną losową. Przykładami statystyk są: średnia z próby, odchylenie standardowe i wariancja z próby, a także statystyki testowe, takie jak statystyka t lub statystyka chi-kwadrat.

Statystyki są często estymatorami parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej.

Definicja formalna

Niech $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝒫)$ będzie przestrzenią statystyczną, gdzie

$𝒫=\{P_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\}$

jest rodziną miar probabilistycznych określonych na σ-ciele $ℱ$ podzbiorów zbioru $\mathrm{\Omega },$ indeksowaną parametrem $\theta .$ Niech dalej $(𝒳,𝒞)$ będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję mierzalną $T:\mathrm{\Omega }\to 𝒳$ nazywamy statystyką. Zbiór $\mathrm{\Omega }$ jest nazywany przestrzenią prób.

Własności

• Jeśli $𝒳=ℝ$ to statystykę $T$ nazywamy statystyką o wartościach rzeczywistych.
• Jeśli $𝒳={ℝ}^n$ to statystykę $T$ nazywamy statystyką o wartościach wektorowych.

Statystyka swobodna

Statystyka $T:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ jest statystyką swobodną ze względu na wartość oczekiwaną, gdy $E_{P_{\theta }}(T)$ istnieje i nie zależy od $\theta .$ Wspólną dla $\theta \in \mathrm{\Theta }$ wartość oczekiwaną oznaczamy $E(T)$ i nazywamy wartością oczekiwaną statystyki $T.$

Statystyka dostateczna

Definicja i własności

σ-ciało dostateczne

σ-podciało $𝒢$ σ-ciała $ℱ$ jest dostateczne, gdy dla każdego $F\in ℱ$ istnieje wersja prawdopodobieństwa warunkowego $P(F|𝒢)$ taka sama dla wszystkich miar z rodziny $𝒫.$

Statystyka dostateczna

Statystykę $T$ nazywamy dostateczną, jeżeli σ-podciało $T^{-1}(𝒞)$ jest dostateczne.

Twierdzenie

Niech statystyka $T:({ℝ}^n,{ℬ}_{R^n},𝒫)\to ({ℝ}^n,{ℬ}_{R^n})$ będzie statystyką o wartościach wektorowych. $T$ jest statystyką dostateczną dla rodziny $𝒫$ lub dla $\theta ,$ jeżeli dla każdej wartości $t$ rozkład warunkowy $P_{\theta }\{\cdot |T=t\}$ nie zależy od $\theta .$

Przypadek ogólny opisuje poniższe twierdzenie (zwane twierdzeniem o faktoryzacji lub twierdzeniem Neymana):

Twierdzenie

Niech $(\mathrm{\Omega },ℱ,\{p_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\})$ będzie przestrzenią statystyczną dominowaną. Statystyka $T:\mathrm{\Omega }\to 𝒳$ jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje gęstości $p_{\theta }$ dają się przedstawić w postaci:

$\underset{\omega \in \mathrm{\Omega }}{\bigwedge }{p}_{\theta }(\omega )=g_{\theta }(T(\omega ))h(\omega ),$

gdzie:

$h:\mathrm{\Omega }\to [0;\mathrm{\infty })$ jest funkcją $ℱ$-mierzalną,

funkcje $g_{\theta }:𝒳\to [0;\mathrm{\infty })$ są $𝒞$-mierzalne.

Minimalna statystyka dostateczna

Statystykę dostateczną $S$ nazywamy minimalną statystyką dostateczną, jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej $T$ istnieje funkcja $H$ taka, że $S=H(T).$

Zobacz też

• miara rozkładu
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę http://web.archive.org/web/20040921200718/http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)