Test t Studenta

Test t Studenta – test statystyczny używany do porównywania dwóch średnich lub porównywania średniej z próby z pewną założoną wartością i sprawdzania, czy różnice pomiędzy nimi mogą być wynikiem losowości. Test t Studenta korzysta ze statystyki testowej o rozkładzie t.

Zasada działania

Jeśli próba losowa pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym, to średnia z próby również ma rozkład normalny z taką samą jak w populacji wartością oczekiwaną. Różnica średniej z próby i średniej z populacji dzielona przez błąd standardowy średniej (iloraz odchylenia standardowego z populacji i pierwiastka z liczebności próby) ma standaryzowany rozkład normalny. Odchylenie standardowe w populacji nie jest jednak zwykle znane. Jeśli zastąpimy je odchyleniem z próby, uzyskamy rozkład t, który zbiega do rozkładu normalnego wraz ze wzrostem wielkości próby.

Test jednej średniej

Hipoteza zerowa. Oznaczmy średnią z próby symbolem $\overline{X},$ a wariancję z próby – symbolem $S^2.$ W ramach testu jednej średniej weryfikuje się hipotezę zerową, że średnia rozkładu, z którego pobierana jest próbka o liczebności $n,$ jest równa pewnej liczbie ${\mu }_0.$ Jeżeli ta hipoteza zerowa jest prawdziwa, statystyka T, dana wzorem

$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S}\sqrt{n}$

ma rozkład t z $n-1$ stopniami swobody.

Formy hipotezy alternatywnej. Hipoteza alternatywna może przyjąć formę dwustronną $\mu \ne {\mu }_0$ (średnia w populacji nie jest równa ${\mu }_0$) lub formę jednostronną: lewostronną ($\mu <{\mu }_0$) lub prawostronną ($\mu >{\mu }_0$). Podobnie jak w innych podobnych testach, w zależności od formy hipotezy alternatywnej oraz przyjętego poziomu istotności $\alpha$ wyznacza się obszar krytyczny lub wartość p.

Kryterium decyzyjne. Analogicznie do wielu innych testów statystycznych, jeżeli uzyskana w próbie wartość statystyki testowej T znajdzie się w obszarze krytycznym lub (co jest równoważne) wartość p nie przekroczy $\alpha$, hipoteza zerowa jest odrzucana.

Założenia. Zakłada się, szczególnie w przypadku małych prób (np. $n⩽30$), że rozkład w populacji, z której pobiera się próbę losową, ma w przybliżeniu rozkład normalny.

Test dwóch średnich

Hipoteza zerowa. W przypadku testu dwóch średnich porównywane są średnie z dwóch prób o liczebnościach $n_1$i $n_2$ pochodzących z dwóch populacji. Hipoteza zerowa zwykle zakłada równość dwóch średnich w populacjach (${\mu }_1={\mu }_2$), co jest równoznaczne stwierdzeniu, że różnica pomiędzy tymi średnimi wynosi zero (${\mu }_1-{\mu }_2=0$). Konstrukcja testu pozwala również na niezerową wartość różnicy w hipotezie zerowej (${\mu }_1-{\mu }_2=D_0$), w praktyce najczęściej jednak $D_0=0.$

Hipoteza alternatywna. Hipoteza alternatywna może być, podobnie jak w teście jednej średniej, dwustronna ${\mu }_1-{\mu }_2\ne D_0$ lewostronna (${\mu }_1-{\mu }_2<D_0$) lub prawostronna (${\mu }_1-{\mu }_2>D_0$).

Statystyka testowa dana jest wzorem:

$T=\frac{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2-D_0}{\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$,

gdzie ${\bar{X}}_1$i $S_1^2$to średnia i wariancja w pierwszej próbie, a ${\bar{X}}_2$ i $S_2^2$ to analogiczne statystyki z drugiej próby, ma rozkład t o $n_1+n_2-2$ stopniach swobody.

Założenia. Przeprowadzając test, zakłada się, że rozkłady w populacjach są w przybliżeniu normalne. Jest to ważne w przypadku małych prób, ponieważ dla większych prób test jest odporny na umiarkowane odstępstwa od tego założenia. Test wymaga ponadto założenia o równości wariancji w obu populacjach. Podobny test umożliwiający pominięcie założenia o równości wariancji nazywany jest testem t Welcha.

Test różnicy średnich dla obserwacji powiązanych w pary. Jeżeli obserwacje z dwóch populacji można powiązać w pary (na przykład testujemy zużycie paliwa wylosowanych samochodów w jeździe miejskiej i poza miastem albo umiejętności uczestników szkoleń przed i po szkoleniu), należy obliczyć różnice dla każdej pary i na tak przygotowanych danych (na obliczonych różnicach) przeprowadzić test jednej średniej.