Rozkład Studenta

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta, rozkład t – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponuje się tylko wynikami n pomiarów, dla których można wyznaczyć takie parametry, jak średnia $\bar{X}$ i odchylenie standardowe $s$ lub wariancja $s^2$ („z próby”), nieznane jest natomiast odchylenie standardowe $\sigma$ w populacji. Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student), podając funkcję zależną od wyników pomiarów $X_i,$ a niezależną od $\sigma .$

Definicja

Rozkład Studenta z $n$ stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej $T$ postaci:

$T=\frac{U}{\sqrt{Z}}\sqrt{n}$

gdzie:

• $U$ jest zmienną losową mającą standardowy rozkład normalny $N(0,1)$
• $Z$ jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o $n$ stopniach swobody
• $U$ i $Z$ są niezależne.

Gęstość prawdopodobieństwa

Zmienna losowa $T$ określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

$f(t,n)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})\sqrt{n\pi }}{(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}$

gdzie $\mathrm{\Gamma }(x)$ to funkcja gamma.

Dowód. Niech $U$ i $Z$ będą takie jak wyżej. Zmienna $Y=\sqrt{Z}$ ma rozkład chi o $n$ stopniach swobody, a więc gęstość $Y$ wyraża się wzorem

$f_Y(y)=\frac{2^{1-\frac{n}{2}}{y}^{n-1}{e}^{-\frac{y^2}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}.$

Rozważmy zmienną

$X=\frac{1}{\sqrt{n}}Y.$

Wówczas

$\frac{\partial Y}{\partial X}=\sqrt{n}$

a zatem całkując przez podstawienie obserwujemy, że

$\begin{array}{cc}{f}_X(x)& =f_Y(\sqrt{n}x)\left|\frac{\partial Y}{\partial X}\right|\\ & =\frac{2^{1-\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}(\sqrt{n}x{)}^{n-1}{e}^{-\frac{(\sqrt{n}x{)}^2}{2}}\sqrt{n}\\ & =\frac{2^{1-\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{n}^{\frac{n}{2}}{x}^{n-1}{e}^{-\frac{n}{2}{x}^2}.\end{array}$

Zmienna $T$ ma zatem rozkład $U/X.$ Jej gęstość jest więc postaci

$\begin{array}{cc}{f}_T(t)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x|f_U(xt)f_X(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_U(xt)f_X(x)\mathrm{d}x\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(xt{)}^2}{2}}\frac{2^{1-\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{n}^{\frac{n}{2}}{x}^{n-1}{e}^{-\frac{n}{2}{x}^2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{n^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{2\pi }}\frac{2^{1-\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-\frac{1}{2}(n+t^2)x^2}\mathrm{d}x.\end{array}$

Niech $m=x^2.$ Wówczas powyższa całka przyjmuje postać

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-\frac{1}{2}(n+t^2)m}\frac{\mathrm{d}m}{2x}=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{m}^{\frac{n-1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}(n+t^2)m}\mathrm{d}m(*).$

Gęstość $f(m;k,\theta )$ rozkładu gamma wyraża się wzorem

$f(m;k,\theta )=\frac{m^{k-1}{e}^{-\frac{m}{\theta }}}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)}.$

Oznacza to, że

$k-1=\frac{n-1}{2}\Rightarrow k^{*}=\frac{n+1}{2},\frac{1}{\theta }=\frac{1}{2}(n+t^2)\Rightarrow {\theta }^{*}=\frac{2}{(n+t^2)}$

a stąd

$(*)=\frac{1}{2}({\theta }^{*}{)}^{k^{*}}\mathrm{\Gamma }(k^{*})=\frac{1}{2}(\frac{2}{n+t^2}{)}^{\frac{n+1}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)=2^{\frac{n-1}{2}}{n}^{-\frac{n+1}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right){(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{1}{2}(n+1)}.$

Ostatecznie

$f_T(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{2^{1-\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{n}^{\frac{n}{2}}{2}^{\frac{n-1}{2}}{n}^{-\frac{n+1}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right){(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{1}{2}(n+1)}=\frac{\mathrm{\Gamma }[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi }\mathrm{\Gamma }(n/2)}{(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{1}{2}(n+1)}.$

Własności

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru $n$ – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości $n$ zmierzają do standardowego rozkładu normalnego $N(0,1).$ Dla małych $n$ różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o $n$ stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu $n-1,$ w szczególności dla $n=1$ rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody $n$ w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego $N(0,1).$

rozkłady Studenta porównane z rozkładem normalnym

Zastosowania

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

1. Niech zmienne losowe $X_1,X_2,\dots ,X_n$ mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej $m$ i wariancji ${\sigma }^2,$ oraz niech zmienna $t$ będzie określona wzorem:

   $t=\frac{\bar{X}-m}{s}\cdot \sqrt{n}$

   gdzie $\bar{X}$ jest wartością średnią z próby, zaś $s$ – odchyleniem standardowym z próby.

   Wówczas zmienna $t$ ma rozkład Studenta o $\nu =n-1$ stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji ${\sigma }^2$).

2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach $n_1$ oraz $n_2,$ wartościach średnich ${\bar{X}}_1$ oraz ${\bar{X}}_2$ i wariancjach wyznaczonych z próby $s_1^2$ oraz $s_2^2$ zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna $t$ określona wzorem:

   $t=\frac{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2}{\sqrt{n_1{s}_1^2+n_2{s}_2^2}}\sqrt{\frac{n_1{n}_2}{n_1+n_2}(n_1+n_2-2)}$

   ma rozkład Studenta o $\nu =n_1+n_2-2$ stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich (test t Studenta, test t Welcha) i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych – zwłaszcza gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność $n⩽30$).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody $\nu =n-1$ i przyjętego poziomu istotności $\alpha .$

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości $t_{\alpha },$ że $P(t>t_{\alpha })=\alpha$ lub $P(|t|<t_{\alpha })=\alpha .$ Wartości te podają tablice rozkładu Studenta.

Bibliografia

• Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę Wykresy gęstości, wartości krytyczne i in. obliczane dla podanej przez użytkownika liczby stopni swobody.
• Szablon:Cytuj stronę (O historii terminu „Rozkład Studenta”)
• Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładu normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F
• Kalkulator rozkładu – polski kalkulator online szacujący wartość statystyki t Studenta dla zadanej liczby stopni swobody
• Tablice podstawowych rozkładów rachunku prawdopodobieństwa