Prawo kontrapozycji

Prawo kontrapozycji, prawo transpozycjiSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn – prawo rachunku zdań (tautologiaSzablon:Odn) mówiące o równoważności dwóch rodzajów implikacji:

$(p\Rightarrow q)⟺(\mathrm{\neg }q\Rightarrow \mathrm{\neg }p).$

Są one nazywane odpowiednio implikacją prostą oraz przeciwstawnąSzablon:Odn. Czasem prawo transpozycji definiuje się nieco inaczej, nazywając tak każdą z czterech blisko związanych implikacji. Oprócz dwóch tworzących powyższą równoważność wyróżnia się też dwie inneSzablon:OdnSzablon:Odn:

$(p\Rightarrow \mathrm{\neg }q)\Rightarrow (q\Rightarrow \mathrm{\neg }p),$

$(\mathrm{\neg }p\Rightarrow q)\Rightarrow (\mathrm{\neg }q\Rightarrow p).$

Kontrapozycja to podstawa reguły wnioskowania modus tollensSzablon:Odn, na przykład dowodów nie wprostSzablon:OdnSzablon:Odn. Jest przedstawiana na kwadracie logicznym przez przekątne. Była znana już w IV wieku p.n.e. – pojawia się w pismach ArystotelesaSzablon:Odn. Łacińska nazwa, na której opiera się ta polska, powstała najpóźniej w VI wieku – używa jej Boecjusz.

Dowody

• Implikację $(p\Rightarrow q)$ można poddać kolejno przekształceniomSzablon:Fakt:

$\mathrm{\neg }p\vee q$	(eliminacja implikacji),
$\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }q$	(podwójne zaprzeczenie),
$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }q\vee \mathrm{\neg }p$	(przemienność alternatywy),
$\mathrm{\neg }q\Rightarrow \mathrm{\neg }p$	(eliminacja implikacji). ∎

• Reguły tej można też dowodzić tak jak innych tautologii klasycznego rachunku zdań, odwołując się do matryc logicznych – niezależnie od wartości obu zmiennych wynikiem działania jest prawdaSzablon:Odn.

• Istnieją również dowody aksjomatyczneSzablon:Odn.

Przykłady użycia

Liczby niewymierne takie jak pi (π) tworzą ułamki dziesiętne nieokresowe. Wynika to z faktu, że każdy okresowy ułamek dziesiętny oznacza liczbę wymierną.

Ruch Księżyca wokół Ziemi nie jest prostoliniowy. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że musi za tym stać jakaś siła; jest nią grawitacja.

Matematyka

• Jeśli jakaś liczba rzeczywista jest opisywana ułamkiem dziesiętnym okresowym, to jest wymierna. Oznacza to, że liczby niewymierne mają rozwinięcie dziesiętne nieokresowe.
• Brak właściwych dzielników zera w jakimś zbiorze, np. wśród liczb rzeczywistych, można wyrażać dwojako:

  $ab=0\Rightarrow (a=0\vee b=0),$

  $(a\ne 0\wedge b\ne 0)\Rightarrow ab\ne 0.$

• Istnieją dwie równoważne definicje funkcji różnowartościowej (iniekcji);
• istnieją dwie równoważne definicje liniowej niezależności układu wektorów;
• warunek konieczny sumowalności szeregu to zbieżność jego elementów do zera. Oznacza to, że jeśli jakiś ciąg nie zbiega do zera, to odpowiedni szereg jest rozbieżny. Przykładem jest szereg Grandiego;
• twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej można wyrazić przez kontrapozycję: jeśli w jakimś punkcie dziedziny funkcji istnieje niezerowa pochodna, to funkcja nie ma tam ekstremum.

Fizyka

• Pierwszą zasadę dynamiki można formułować dwojako; tej najczęstszej postaci równoważna jest inna: jeśli ciało nie porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym ani nie spoczywa, to działa na nie wypadkowa siła:

  $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}\ne \overrightarrow{0}\Rightarrow {\overrightarrow{F}}_w\ne \overrightarrow{0};$

Filozofia

• Paradoks czarnego kruka (paradoks Hempla) mówi, że implikacje można weryfikować przez weryfikację ich kontrapozycji, co przeczy intuicyjnemu rozumieniu weryfikacji i podważa wartość tego typu procedur.
• Kontrapozycja bywa używana w ontologicznych argumentach za wiarą w Boga.

Inne znaczenie terminu

Czasem powyższa reguła jest znana jako transpozycja zwykłaSzablon:Odn lub prosta; wtedy wyróżnia się też prawa transpozycji złożonejSzablon:OdnSzablon:Odn:

$((p\wedge q)\Rightarrow r)⟺((p\wedge \mathrm{\neg }r)\Rightarrow \mathrm{\neg }q).$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Logika – prawo kontrapozycji. Cykl „Matma – zobacz jakie to proste”, zpe.gov.pl [dostęp 2023-05-27].
  • Szablon:Otwarty dostęp Nagranie na YouTube, kanał Ministerstwa Edukacji i Nauki, 9 grudnia 2020.