Prawa rachunku zdań

Ważniejsze prawa rachunku zdań:

Z jedną zmienną zdaniową

nazwa prawa	wzór (formuła)
tożsamości (każde zdanie implikuje siebie)	$p\Rightarrow p$
podwójnego przeczenia (dowolne zdanie równoważne jest podwójnej negacji tego zdania)	$p\iff \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p$
idempotentności koniunkcji	$p\iff (p\wedge p)$
idempotentności alternatywy	$p\iff (p\vee p)$
wyłączonego środka (z dwóch zdań: zdania lub jego zaprzeczenia jedno zawsze jest prawdziwe; prawo to jest odpowiednikiem reguły tertium non datur (łac. trzeciej możliwości nie ma))	$p\vee \mathrm{\neg }p$
niesprzeczności (nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie)	$\mathrm{\neg }(p\wedge \mathrm{\neg }p)$
Claviusa (jeżeli zdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest prawdziwe)	$(\mathrm{\neg }p\Rightarrow p)\Rightarrow p$

Z dwoma zmiennymi zdaniowymi

nazwa prawa	wzór (formuła)
przemienności koniunkcji	$(p\wedge q)\iff (q\wedge p)$
przemienności alternatywy	$(p\vee q)\iff (q\vee p)$
prawa pochłaniania	$p\Rightarrow (p\vee q)$
	$(p\wedge q)\Rightarrow p$
	$[p\wedge (p\vee q)]\iff p$
	$[p\vee (p\wedge q)]\iff p$
pierwsze De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji)	$\mathrm{\neg }(p\wedge q)\iff (\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q)$
drugie De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy)	$\mathrm{\neg }(p\vee q)\iff (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)$
Dunsa Szkota (jeżeli zdanie jest fałszywe, to wynika z niego każde inne zdanie)	$\mathrm{\neg }p\Rightarrow (p\Rightarrow q)$
symplifikacji (jeżeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z każdego innego)	$p\Rightarrow (q\Rightarrow p)$
prawa transpozycji jeżeli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego	$(p\Rightarrow q)\Rightarrow (\mathrm{\neg }q\Rightarrow \mathrm{\neg }p)$
modus tollendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia)	$[(p\Rightarrow q)\wedge \mathrm{\neg }q]\Rightarrow \mathrm{\neg }p$
jeżeli z zaprzeczenia zdania wynika drugie zdanie, to z zaprzeczenia drugiego wynika pierwsze	$(\mathrm{\neg }p\Rightarrow q)\Rightarrow (\mathrm{\neg }q\Rightarrow p)$
modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy zaprzeczenia)	$[(p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }p]\Rightarrow q$
jeżeli z jednego zdania wynika zaprzeczenie drugiego, to z drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego	$(p\Rightarrow \mathrm{\neg }q)\Rightarrow (q\Rightarrow \mathrm{\neg }p)$
modus ponendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przy pomocy potwierdzenia)	$[(\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q)\wedge p]\Rightarrow \mathrm{\neg }q$
prawo odrywania (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe, to drugie należy uznać za prawdziwe; modus ponendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy potwierdzenia)	$[(p\Rightarrow q)\wedge p]\Rightarrow q$
eliminacji implikacji	$(p\Rightarrow q)\iff (\mathrm{\neg }p\vee q)$
zaprzeczenia implikacji	$\mathrm{\neg }(p\Rightarrow q)\iff (p\wedge \mathrm{\neg }q)$
redukcji do absurdu (reductio ad absurdum)	$[(p\Rightarrow q)\wedge (p\Rightarrow \mathrm{\neg }q)]\Rightarrow \mathrm{\neg }p$

Z trzema zmiennymi zdaniowymi

nazwa prawa	wzór (formuła)
łączności koniunkcji	$[(p\wedge q)\wedge r]\iff [p\wedge (q\wedge r)]$
łączności alternatywy	$[(p\vee q)\vee r]\iff [p\vee (q\vee r)]$
rozdzielności koniunkcji względem alternatywy	$[p\wedge (q\vee r)]\iff [(p\wedge q)\vee (p\wedge r)]$
rozdzielności alternatywy względem koniunkcji	$[p\vee (q\wedge r)]\iff [(p\vee q)\wedge (p\vee r)]$
przechodności implikacji – przykład sylogizmu warunkowego (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)	$[(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow r)]\Rightarrow (p\Rightarrow r)$
prawo Fregego	$[p\Rightarrow (q\Rightarrow r)]\Rightarrow [(p\Rightarrow q)\Rightarrow (p\Rightarrow r)]$

Zobacz też

• algebra Boole’a
• reguła opuszczania alternatywy
• reguła opuszczania koniunkcji