Koniunkcja (logika)

Szablon:Inne znaczenia Koniunkcja – zdanie złożone mające postać p i q, gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: $p\wedge q.$ Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać $p_1$ i... i $p_n.$ Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i qSzablon:OdnSzablon:Odn. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są zdaniami prawdziwymiSzablon:OdnSzablon:Odn. Niekiedy słowo koniunkcja odnosi się również do spójnika.

Definicja

Niech $𝔹$ będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: $𝔹=\{0,1\}.$ Koniunkcja $\wedge :𝔹\times 𝔹\to 𝔹$ jest funkcją dwuargumentową ze zbioru $𝔹\times 𝔹$ w zbiór $𝔹$, określoną następująco:

$p\wedge q=\min (p,q)$Szablon:Odn

lub równoważnie

$p\wedge q=p\cdot q$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Działanie to pozostaje w ścisłym związku z działaniem iloczynu zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań za pomocą koniunkcji jest też nazywane iloczynem logicznym, a jego zdania składowe nazywane są czynnikami koniunkcji. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej czynniki p, q są zdaniami prawdziwymiSzablon:OdnSzablon:Odn.

Tablica prawdy dla koniunkcjiSzablon:Odn:

$p$	$q$	$p\wedge q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe, 0 – fałszywe

Oznaczenia

Zestawienie symboli koniunkcji, stosowanych przez różnych autorówSzablon:OdnSzablon:Odn:

	Schröder Peirce	Peano Russell	Hilbert	Łukasiewicz
Koniunkcja	$p\cdot q$	$p.q$	$p\mathrm{\&}q$	$Kpq$

Do oznaczenia koniunkcji stosowany jest także angielski spójnik AND (symbol funkcji boolowskiej).

Własności

Szablon:Osobny artykuł Koniunkcja jest operacją dwuargumentową i charakteryzuje się następującymi cechami:

• przemienność

$p\wedge q\iff q\wedge p$Szablon:OdnSzablon:Odn

• łączność

$p\wedge (q\wedge r)\iff (p\wedge q)\wedge r$Szablon:OdnSzablon:Odn

• idempotentność

$p\wedge p\iff p$Szablon:Odn

• rozdzielność względem alternatywy

$p\wedge (q\vee r)\iff (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$

$p\vee (q\wedge r)\iff (p\vee q)\wedge (p\vee r)$Szablon:OdnSzablon:Odn

• prawa De Morgana

$\mathrm{\neg }(p\wedge q)\iff (\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q)$

$\mathrm{\neg }(p\vee q)\iff (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)$Szablon:Odn

Negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji, natomiast negacja alternatywy – koniunkcji negacjiSzablon:Odn.

Przykłady

• Koniunkcja $(2+2=4)\wedge (3+1=5)$ jest fałszywa, gdyż wartość logiczna zdania drugiego to 0 (fałsz), a jak wynika z tablicy prawdy koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba warunki są spełnione (to znaczy oba zdania składowe posiadają wartość logiczną równą 1, czyli „prawda”).
• Koniunkcja $(2+2=4)\wedge (3+1=4)$ jest prawdziwa, gdyż oba zdania mają wartość logiczną równą 1 (prawda).
• „Krzyś lubi pomarańcze”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (prawda)
• „Krzyś NIE lubi pomarańczy”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (fałsz)

Koniunkcja binarna

Uproszczony schemat bramki logicznej AND.

W informatyce operację koniunkcji binarnej (ang. bitwise AND) stosuje się do par liczb naturalnych wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Wynik zawiera jedynki na tych pozycjach, na których w obydwu ciągach występowała jedynka, na przykład:

	14 & 4
=	0001110 & 0000100	(liczby w systemie binarnym)
=	0000100	(efekt operacji na kolejnych cyfrach)
=	4	(wynik w postaci dziesiętnej)

W fizycznych układach logicznych funkcji koniunkcji odpowiada bramka logiczna AND (iloczyn bitowy).

Koniunkcja a język naturalny

Symbol $\wedge$ odpowiada zasadniczo spójnikowi i (a także jego synonimom: oraz i tudzież). Słowo i może jednak posiadać dodatkowe odcienie znaczeniowe, których koniunkcja logiczna nie uwzględnia.

Spójnik i może sugerować wzajemność: Alicja i Bob rozmawiali przez telefon nie oznacza dokładnie tego samego, co Alicja rozmawiała przez telefon i Bob rozmawiał przez telefonSzablon:Odn.

Słowo i może także oznaczać następstwo czasowe (i następnie) lub związek przyczynowo-skutkowy (i w wyniku tego). Zdanie Mary wyszła za mąż i urodziła dziecko opisuje inną sytuację, niż Mary urodziła dziecko i wyszła za mążSzablon:Odn. Podobnie różnią się znaczeniem zdania Tom wziął się do roboty i znalazł wreszcie pracę oraz Tom znalazł wreszcie pracę i wziął się do robotySzablon:Odn.

Zobacz też

• alternatywa
• binegacja

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Szablon:Kontrola autorytatywna