Negacja

Symbole negacjiSzablon:OdnSzablon:Odn

autorzy	zapis
Heyting	$\mathrm{\neg }p$
Schröder Peirce	$p^{\prime }$
Peano Russell	$\sim p$
Hilbert	$\bar{p}$
Łukasiewicz	$Np$

Negacja (z łac. negatio), zaprzeczenie – pojęcie logiki i językoznawstwa o kilku znaczeniach:

• działanie jednoargumentowe na zbiorze zdań (funktor zdaniotwórczy), które każdemu zdaniu p przypisuje zdanie nie pSzablon:OdnSzablon:Odn;
• wynik tego działania, tj. wartość funktora – zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem;
• odpowiednią funkcję na zbiorze wartości logicznych;
• odpowiedni funktor na zbiorze nazw.

W logice formalnej, np. rachunku zdań, negacja ma różne zapisy:

• osobny symbol $(\mathrm{\neg }p),$
• tylda $(\sim p),$
• prim $(p^{\prime }),$
• makron $(\bar{p}).$

Odczytuje się to nieprawda, że pSzablon:Odn lub nie jest tak, że pSzablon:Odn. Inny symbol negacji – zwłaszcza jako funkcji boolowskiej i bramki logicznej – to angielska partykuła NOT.

Definicja w logice dwuwartościowej

Tablica prawdy dla negacjiSzablon:Odn

$p$	$\mathrm{\neg }p$
0	1
1	0

Niech $𝔹$ będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: $𝔹=\{0,1\}.$ Negacja $\mathrm{\neg }:𝔹\to 𝔹$ jest funkcją ze zbioru $𝔹$ w zbiór $𝔹,$ określoną następująco:

$\mathrm{\neg }p=1-p$Szablon:Odn,

czyli

$\mathrm{\neg }0=1$

$\mathrm{\neg }1=0$Szablon:Odn.

Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziweSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn:

1 – prawda (lub zdanie prawdziwe),

0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).

Własności

W klasycznym rachunku zdań negacja pojawia się w szeregu tautologii, tj. formuł prawdziwych zawsze, bez względu na prawdziwość zdań składowych. Odpowiadają im pewne tożsamości opisujące dopełnienie zbioru.

Zasada niesprzeczności

Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzecznościSzablon:Odn) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziweSzablon:Odn (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszyweSzablon:Odn):

$\mathrm{\neg }(p\wedge \mathrm{\neg }p)$Szablon:OdnSzablon:Odn,

gdzie $\wedge$ jest znakiem koniunkcji (oznacza spójnik ‘i’).

Przykład:

• Niech $p$ będzie zdaniem Mam ciastko.
• Wówczas $\mathrm{\neg }p$ ma postać: Nie mam ciastka.
• Ich koniunkcja $p\wedge \mathrm{\neg }p$ to Mam ciastko i nie mam ciastka (jest to zdanie fałszywe).
• Zaprzeczenie tej koniunkcji $\mathrm{\neg }(p\wedge \mathrm{\neg }p)$ (Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka) jest zdaniem prawdziwym.

Prawo wyłączonego środka

Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziweSzablon:Odn:

$p\vee \mathrm{\neg }p$Szablon:OdnSzablon:Odn,

gdzie $\vee$ jest znakiem alternatywy (oznacza spójnik lub).

Przykład:

• Niech zdanie $p$ ma postać: Jutro będzie padał deszcz.
• Wówczas $\mathrm{\neg }p$ to Jutro nie będzie padał deszcz.
• Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
• Ich alternatywa $p\vee \mathrm{\neg }p$ (Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz) jest zawsze prawdziwa.

Prawo podwójnego przeczenia

Złożenie dwóch negacji jest równoważne wyjściowemu zdaniuSzablon:Odn:

$\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p)\iff p.$

Przykład:

• Niech zdanie $p$ oznacza: Warszawa jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe).
• Wówczas $\mathrm{\neg }p$ ma postać: Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie fałszywe).
• Natomiast $\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p)$ można zapisać: Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zdaniu $p$).

Inne

Negację zawierają też prawo kontrapozycji i prawa De Morgana.

Zobacz też

• algebra Boole’a
• bramka NOT
• kwantyfikator

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:SEP