Funkcja η

Funkcja eta Dirichleta – funkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako:

$\eta (z)=(1-2^{1-z})\zeta (z),$

gdzie $\zeta (z)$ – funkcja dzeta Riemanna.

Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:

$\eta (z)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^z}.$

Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:

$\eta (z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{z-1}}{\exp (x)+1}dx,$

gdzie $\mathrm{\Gamma }(z)$ – funkcja gamma Eulera.

Własności funkcji η

Należy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje – jej część rzeczywistą $\mathrm{\Re }(\eta (z))$ i część urojoną $\mathrm{\Im }(\eta (z)).$ Mają one własności:

$\mathrm{\Re }(\eta (z))=\mathrm{\Re }(\eta (\bar{z})),$

$\mathrm{\Im }(\eta (z))=-\mathrm{\Im }(\eta (\bar{z})),$

gdzie $\bar{z}$ oznacza sprzężenie zespolone liczby $z.$ Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.

Ponadto możemy zapisać granicę:

$\underset{\mathrm{\Re }(z)\to \mathrm{\infty }}{\lim }\eta (z)=1.$

Wynika z tego bezpośrednio, że $\underset{\mathrm{\Re }(z)\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Re }(\eta (z))=1$ i $\underset{\mathrm{\Re }(z)\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Im }(\eta (z))=0,$ co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.

Wykresy funkcji η

• 
  Wykres funkcji η(x) dla osi rzeczywistej. Część urojona jest równa zeru.
• 
  Wykres funkcji η(z) dla całej płaszczyzny zespolonej. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł (im bliższy 0 tym ciemniejszy). Oś rzeczywista – poziomo, oś urojona – pionowo.