Argument liczby zespolonej

Argument główny liczby zespolonej

Ten diagram Arganda reprezentuje liczby zespolone leżące na płaszczyźnie. Dla każdego punktu na płaszczyźnie $\arg$ jest funkcją, która zwraca kąt φ.

Dwie opcje argumentu φ

Główną wartością $\arg$ niebieskiego punktu $1+i$ jest $\frac{\pi }{4}$

Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną $z$ na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: $\text{arg}(z).$

Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność $2\pi .$ Argument sprowadzony do przedziału $[0,2\pi )$, lub $(-\pi ,\pi ]$, nazywa się argumentem głównym. Oznaczenie:$\text{Arg}(z).$

Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej:

$a+bi=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ),$

gdzie $r=\sqrt{a^2+b^2}=|z|$ jest modułem liczby zespolonej, a $\varphi$ jej argumentem.

Dla liczb o niezerowej części rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:

$\phi =\{\begin{array}{cc}\mathrm{arctg}\left(\frac{b}{a}\right),& \text{gdy }a>0\\ \mathrm{arctg}\left(\frac{b}{a}\right)+\pi ,& \text{gdy }a<0\end{array}$

Dla liczb urojonych, $z=bi:$

$\phi =\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\pi ,& \text{gdy }b>0\\ -\frac{1}{2}\pi ,& \text{gdy }b<0\end{array}$

Dla liczby $z=0,$ argument jest nieokreślony.

Niech $a+bi=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ oraz niech $c+di=\rho (\cos \psi +i\sin \psi ),$ wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:

• $(a+bi)\cdot (c+di)=r\cdot \rho (\cos (\varphi +\psi )+i\sin (\varphi +\psi ))$
• $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{r}{\rho }(\cos (\varphi -\psi )+i\sin (\varphi -\psi ))$