Funkcja lokalnie całkowalna

Funkcja lokalnie całkowalna – funkcja, która jest całkowalna na każdym zbiorze zwartym, ale może nie być całkowalna na zbiorach otwartych. Takie funkcje mają zastosowanie w analizie funkcjonalnej i odgrywają także ważną rolę w teorii dystrybucji. Pojęcie funkcji lokalnie całkowalnych można uogólnić do pojęcia funkcji lokalnie p-całkowalnych.

Definicja

Zdefiniujemy funkcje lokalnie całkowalne oraz przestrzeń funkcyjną $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1.$ Niech $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ będzie zbiorem otwartym i niech $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ będzie funkcją mierzalną względem miary Lebesgue’a. Funkcję $f$ nazwiemy lokalnie całkowalną, jeśli dla każdego zbioru zwartego $K\subset \mathrm{\Omega }$ całka Lebesgue’a jest skończona, czyli

$\underset{K}{\int }|f(x)|\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }.$

Zbiór wszystkich takich funkcji oznaczymy ${ℒ}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$. Jeśli utożsamimy ze sobą te funkcje z ${ℒ}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega }),$ które są równe prawie wszędzie, to otrzymamy w ten sposób przestrzeń unormowaną $L_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$.

Równoważna definicja wypływa z teorii dystrybucji:

$L_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega }):=\{f\in L^0(\mathrm{\Omega })|\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)\varphi (x)\mathrm{d}x<\mathrm{\infty },\varphi \in 𝒟(\mathrm{\Omega })\},$

gdzie $L^0(\mathrm{\Omega })$ oznacza przestrzeń funkcji mierzalnych z $\mathrm{\Omega }$ do $ℝ$ (ściślej: klas równoważności funkcji mierzalnych, które są równe prawie wszędzie), a $𝒟(\mathrm{\Omega })\cong C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ jest przestrzenią funkcji testowych.

Przykłady

• Funkcja charakterystyczna nieograniczonego zbioru $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ jest lokalnie całkowalna, ale nie jest całkowalna.
• Wszystkie funkcje ciągłe są lokalnie całkowalne.
• Wszystkie funkcje z przestrzeni $L^p$ są lokalnie całkowalne.
• Funkcja dana wzorem

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$

nie jest lokalnie całkowalna, bo nie jest całkowalna na żadnym zbiorze zwartym zawierającym $x=0.$

Funkcja lokalnie p-całkowalna

Analogicznie do $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1(\mathrm{\Omega })$ możemy zdefiniować również przestrzeń $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p(\mathrm{\Omega }).$ Niech $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ będzie zbiorem otwartym lub σ-zwartym. Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ nazwiemy lokalnie p-całkowalną, jeśli wyrażenie

$\underset{K}{\int }|f(x){|}^p\mathrm{d}x$

istnieje dla ustalonego $p⩾1$ wszystkich zbiorów zwartych $K\subset \mathrm{\Omega }$.

Zobacz też

• funkcja całkowalna