Funkcja charakterystyczna zbioru

Funkcja charakterystyczna zbioru, funkcja wskaźnikowa, indykator zbioru – niech $A$ będzie dowolnym zbiorem, zaś $B$ jego podzbiorem, $B\subseteq A.$ Funkcją charakterystyczną zbioru $B$ nazywa się funkcję rzeczywistą $f:A⟶\{0,1\}$ określoną następującym wzorem:

$f(x):=\{\begin{array}{cc}1,& \text{gdy }x\in B,\\ 0,& \text{gdy }x\notin B.\end{array}$

Oznaczeniem funkcji charakterystycznej zbioru $B\subseteq A$ jest ${\mathrm{𝟏}}_{B,A},{𝐈}_{B,A},{\chi }_{B,A},{\mathrm{𝟏}}_B,{𝐈}_B$ bądź ${\chi }_B.$

Funkcje charakterystyczne mają zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnychSzablon:Fakt.

Przykłady

• Funkcja Dirichleta ${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}$ zbioru liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ jest funkcją nieciągłą w każdym punkcie dziedziny.
• Jeśli $f:A\to \overline{ℝ}$ jest nieujemną funkcją mierzalną, to ciąg

${\left(\frac{1}{2^n}\sum _{k=1}^{n{2}^n}{\chi }_{\{x\in A:f(x)>k/2^n\},A}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

jest punktowo zbieżny do $f.$

Zobacz też

• funkcja charakterystyczna w rachunku prawdopodobieństwa

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-30].
• Szablon:Otwarty dostęp Characteristic function of a set Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].