Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Definicja intuicyjna Szablon:Spis treści Funkcją charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa $\mu$ nazywa się funkcję $\phi :ℝ\to ℂ$ zadaną wzorem

$\phi (t)=\underset{ℝ}{\int }{e}^{its}\mu (\mathrm{d}s).$

Jeżeli $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ jest zmienną losową, a ${\mu }_X$ jest jej rozkładem, to jej funkcja charakterystyczna może być zapisana jako

${\phi }_X(t)=\underset{ℝ}{\int }{e}^{its}{\mu }_X(\mathrm{d}s)=𝔼e^{itX},$

gdzie $𝔼$ to wartość oczekiwana. Szablon:Zobacz też

Funkcja charakterystyczna, podobnie jak dystrybuanta, koduje pełną informację o rozkładzie. Jest ona dobrze określona (istnieje dla każdego rozkładu). Dla rozkładów ciągłych jest to transformata Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa:

${\phi }_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}f(x)dx,$

stąd można ją uznać za uogólnienie transformaty Fouriera na dowolne rozkłady.

Dla rozkładów dyskretnych o masie prawdopodobieństwa skupionej w punktach $x_1,x_2,\dots ,x_n:$

${\phi }_X(t)=\sum _{j=1}^n\mathrm{pmf}(x_j)e^{it{x}_j}.$

Własności

• ${\phi }_X(0)=1,$
• $|{\phi }_X(t)|⩽1,$
• ${\phi }_X(t)=\overline{{\phi }_X(-t)},$
• ${\phi }_X$ jest dodatnio określona,
• ${\phi }_X(t)$ jest jednostajnie ciągła,
• ${\phi }_X$ jest funkcją rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy rozkład jest symetryczny,
• $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{|t|\to \mathrm{\infty }}{\phi }_X(t)\to 0$ dla rozkładów ciągłych (twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a).

Funkcja charakterystyczna funkcji liniowej $aX+b$ zmiennej losowej $X$ wyraża się za pomocą funkcji charakterystycznej zmiennej losowej $X$ według następującego wzoru:

${\phi }_{aX+b}(t)={\phi }_X(at)e^{itb}.$

Przykłady

Niżej podano funkcje charakterystyczne ${\phi }_X(t)$ znanych rozkładów ${\mu }_X.$ Zawsze $n,k\in \mathbb{N},$ $a,b,m,p,t,x,\lambda ,\sigma \in ℝ,$ przy czym $p,\lambda >0$ oraz $A\subseteq ℝ.$ Symbol ${\mathrm{𝟏}}_A(x)$ oznacza indykator zbioru $A.$

Nazwa	Oznaczenie	Rozkład	Funkcja charakterystyczna
jednopunktowy	${\delta }_a$	$\mathrm{pmf}(a)=1$	$e^{ait}$
dwupunktowy		$\mathrm{pmf}(a)=p=1-\mathrm{pmf}(b)$	$p{e}^{ait}+(1-p)e^{bit}$
Poissona	$\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}(\lambda )$	$\mathrm{pmf}(k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
dwumianowy	$\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}(n,p)$	$\mathrm{pmf}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$	$(1-p+p{e}^{it}{)}^n$
geometryczny	$\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}(p)$	$\mathrm{pmf}(k)=p(1-p{)}^{k-1}$	$\frac{p{e}^{it}}{1-(1-p)e^{it}}$
jednostajny (na odcinku)	$\mathrm{U}(a,b)$	$f(x)=\frac{1}{b-a}{\mathrm{𝟏}}_{[a,b]}(x)$	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$
wykładniczy	$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}{\mathrm{𝟏}}_{[0,\mathrm{\infty })}$	$\frac{\lambda }{\lambda -it}$
normalny	$\mathrm{N}(m,{\sigma }^2)$	$f_X(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-m{)}^2}{2{\sigma }^2}}$	$e^{mit-\frac{(\sigma t{)}^2}{2}}$
normalny standardowy	$\mathrm{N}(0,1)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$	$e^{-\frac{t^2}{2}}$

Momenty

Z funkcji charakterystycznej ${\phi }_X$ da się wyznaczyć momenty zmiennej losowej $X.$ Istnieje też częściowe odwrócenie tego twierdzenia dla momentów parzystych.

Twierdzenie

Jeżeli istnieje $n$-ty moment zmiennej losowej $X,$ tzn. $𝔼|X{|}^n<\mathrm{\infty },$ to istnieje również $n$-ta pochodna funkcji charakterystycznej ${\phi }_X,$ co więcej jest ona jednostajnie ciągła, oraz zachodzi

$i^n𝔼X^n={\phi }_X^{(n)}(0).$

Dzięki temu wzór Taylora funkcji charakterystycznej wygląda następująco: jeżeli $𝔼|X{|}^n<\mathrm{\infty },$ to

${\phi }_X(t)=\sum _{k=0}^n\frac{(it{)}^k}{k!}𝔼X^k+\mathrm{o}(t^n).$

Twierdzenie

Jeżeli istnieje $n$-ta pochodna funkcji charakterystycznej zmiennej losowej, gdzie $n=2k$ oraz $k\in \mathbb{Z},$ to istnieje $n$-ty moment tej zmiennej losowej.

Rozkłady

Kryterium określającego kiedy funkcja $\phi :ℝ\to ℂ$ jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa dostarcza twierdzenie Bochnera. Innym jest kryterium Pólya.

Funkcja charakterystyczna determinuje rozkład, tzn. jeśli $\mu ,\nu$ są rozkładami prawdopodobieństwa na $ℝ,$ to jeśli mają one równe funkcje charakterystyczne, czyli ${\phi }_{\mu }(t)={\phi }_{\nu }(t){\mathrm{\forall }}_{t\in ℝ},$ to $\mu =\nu .$

Ponieważ ciąg $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny według rozkładu, jeżeli

$𝔼f(X_n)\to 𝔼f(X),$ dla dowolnej funkcji $f$ ciągłej i ograniczonej,

w szczególności dla $f(x)=e^{itx}$ (ciągłej i ograniczonej co do modułu przez 1), to

$𝔼e^{it{X}_n}\to 𝔼e^{itX}⟺{\phi }_{X_n}(t)\to {\phi }_X(t){\mathrm{\forall }}_{t\in ℝ},$

a więc zbieżność według rozkładu zmiennych losowych pociąga zbieżność punktową ich funkcji charakterystycznych. Twierdzenie Lévy’ego-Craméra jest nietrywialnym odwróceniem tego wyniku.

Dystrybuanta i gęstość

Z tożsamości Parsevala wynika wzór na dystrybuantę $F$ rozkładu o funkcji charakterystycznej $\phi .$ Jeżeli punkt $u$ jest punktem ciągłości, to

$F(u)=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{u}{\int }}(\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ist}\phi (s)e^{-s^2/2a^2}ds)dt.$

Odwrotna transformacja Fouriera umożliwia wyznaczenie gęstości: jeżeli $\phi$ jest całkowalna, to rozkład ten ma ograniczoną i ciągłą gęstość $f$ daną wzorem

$f(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-isx}\phi (s)ds.$

Twierdzenie Plancherela mówi, iż jeżeli rozkład ma gęstość $f$ i funkcję charakterystyczną $\phi ,$ to $|\phi {|}^2$ jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy $f^2$ jest całkowalna. Wtedy też

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\phi (t){|}^{2}dt.$

Niezależne zmienne losowe

Funkcje charakterystyczne są szczególnie użyteczne do badania zmiennych będących funkcjami niezależnych zmiennych losowych. Jeżeli $X_1,\dots ,X_n$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, a

$S_n=a_1{X}_1+\dots +a_n{X}_n,$

gdzie $a_i\in ℂ,$ to funkcja charakterystyczna $S_n$ dana jest wzorem

${\phi }_{S_n}(t)={\phi }_{X_1}(a_{1}t)\dots {\phi }_{X_n}(a_{n}t).$

W szczególności ${\phi }_{X+Y}(t)={\phi }_X(t){\phi }_Y(t),$ co wynika wprost z definicji funkcji charakterystycznych (pierwsza i czwarta równość), własności funkcji wykładniczej (druga równość) i niezależności zmiennych losowych (trzecia równość):

${\phi }_{X+Y}(t)=𝔼e^{it(X+Y)}=𝔼\left(e^{itX}{e}^{itY}\right)=𝔼e^{itX}𝔼e^{itY}={\phi }_X(t){\phi }_Y(t).$

Rozkłady wielowymiarowe

Jeżeli $𝐭=(t_1,t_2,\dots ,t_n{)}^{\mathrm{\top }}\in {ℝ}^n,$ zaś $𝐗=(X_1,X_2,\dots ,X_n{)}^{\mathrm{\top }}\in {ℝ}^n$ jest wektorem losowym, a przez $𝐭𝐗$ rozumie się ich iloczyn skalarny, to funkcję charakterystyczną wektora $𝐗$ definiuje się analogicznie wzorem

${\phi }_{𝐗}(𝐭)=𝔼e^{i𝐭𝐗}.$

lub w zapisie macierzowym

${\phi }_{𝐗}(𝐭)=𝔼e^{i{𝐭}^{\mathrm{\top }}𝐗},$

gdzie ${}^{\mathrm{\top }}$ oznacza transpozycję (oba wektory są kolumnowe).

Funkcja charakterystyczna przekształcenia afinicznego $𝐀𝐗+𝐛$ wyraża się przez ${\phi }_{𝐗}$ wzorem postaci:

${\phi }_{𝐀𝐗+𝐛}(𝐭)={\phi }_X({𝐀}^{\mathrm{\top }}𝐭)e^{i{𝐭}^{\mathrm{\top }}𝐛},$

gdzie $𝐀$ jest przekształceniem liniowym (macierzą), zaś $𝐛\in {ℝ}^n.$

Zmienne losowe $X_1,\dots ,X_n$ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

${\phi }_{𝐗}(𝐭)={\phi }_{X_1}(t_1)\dots {\phi }_{X_n}(t_n).$

Zgodnie z twierdzeniem Craméra-Wolda ciąg wektorów losowych ${𝐗}_1,{𝐗}_2,\dots$ zbiega według rozkładu do wektora $𝐗$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${𝐭𝐗}_n$ zbiega według rozkładu do $𝐭𝐗$ dla każdego $𝐭\in {ℝ}^n.$

Zobacz też

• funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera)
• funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a)
• funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata)
• kumulanta

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę