Dystrybuanta

Dystrybuanta (fr. distribuer „rozdzielać, rozdawać” z łac. distribuo zob. dystrybucja) – funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa, ponieważ są obiektami prostszymi niż rozkłady prawdopodobieństwa. W statystyce dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną i jest blisko związana z pojęciem rangi.

Definicja formalna

Niech $\mathbb{P}$ będzie rozkładem prawdopodobieństwa na prostej. Funkcję $F:ℝ\to ℝ$ daną wzorem

$F(t)=\mathbb{P}((-\mathrm{\infty },t]),$

nazywamy dystrybuantą rozkładu $\mathbb{P}.$

Własności

Funkcja $F:ℝ\to ℝ$ jest dystrybuantą (pewnego rozkładu prawdopodobieństwa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona niemalejąca, prawostronnie ciągła oraz

• $\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=0,$
• $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=1.$

Uwaga 1

Powyższa charakteryzacja dostarcza warunek konieczny i wystarczający na to, by funkcja dana funkcja $F:ℝ\to ℝ$ była dystrybuantą pewnego rozkładu, dlatego czasami to właśnie je przyjmuje się jako definicję. Podejście takie może być korzystniejsze z tego względu, że nie trzeba odwoływać się do pojęcia rozkładu pochodzącego z teorii miary. Wówczas taka definicja zawiera ciche założenie, że istnieje rozkład, którego ta funkcja jest dystrybuantą.

Uwaga 2

Dystrybuanta $F$ wyznacza pewien rozkład $\mathbb{P}$ jednoznacznie i na odwrót, więc gdy zachodzi potrzeba całkowania pewnej funkcji borelowskiej $g$ względem rozkładu $\mathbb{P},$ to można mówić, że całkujemy ją względem dystrybuanty $F,$ co zapisuje się:

$\int g\mathrm{d}\mathbb{P}=\int g\mathrm{d}F.$

Uwaga 3

Niekiedy w definicji dystrybuanty stosuje się przedział otwarty:

$F(t)=\mathbb{P}((-\mathrm{\infty },t)).$

Dystrybuanta jest wówczas funkcją lewostronnie ciągłą (w przeciwieństwie do przypadku gdy w definicji stosuje się przedział prawostronnie domknięty i dystrybuanta jest funkcją prawostronnie ciągłą).

Punkty skokowe

Punkt skokowy dystrybuanty to punkt $y,$ dla którego dystrybuanta $F(x)$ spełnia warunek:

$F(y)-\underset{x\to y^{-}}{\lim }F(x)>0,$

tzn. jest to jej punkt nieciągłości.

W przypadku dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa punkty skokowe występują dla każdej wartości zmiennej losowej, dla której ma ona dodatnie prawdopodobieństwo i tylko tam. W przypadku bezwzględnie ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa nie ma punktów skokowych dystrybuanty. Zbiór punktów skokowych dystrybuanty jest co najwyżej zbiorem przeliczalnym.

Przykłady

Wykresy dystrybuant rozkładów normalnych o różnych parametrach.

• Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na przedziale $[a,b]:$

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{dla}x⩽a\\ \frac{x-a}{b-a}& \text{dla}a<x⩽b\\ 1& \text{dla}x>b\end{array}$

• Dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach $\mu$ i ${\sigma }^2:$

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-(t-\mu {)}^2}{(2{\sigma }^2)}}\mathrm{d}t$

• Dystrybuanta rozkładu wykładniczego o parametrze $\lambda :$

$F(x)=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x},& x⩾0,\\ 0,& x<0.\end{array}$

Gęstość

Szablon:Osobny artykuł Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję $f:ℝ\to [0,\mathrm{\infty })$ nazywamy gęstością dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t(x\in ℝ).$

Własności

• Jeżeli $f$ jest gęstością pewnej dystrybuanty, to całka z $f$ po całej prostej wynosi $1.$
• Jeżeli $f_1$ i $f_2$ są gęstościami pewnej dystrybuanty, to są one równe prawie wszędzie.
• Jeżeli dystrybuanta ma gęstość, to jest funkcją ciągłą.
• Każda dystrybuanta, jako funkcja monotoniczna jest prawie wszędzie różniczkowalna.
• Jeśli dystrybuanta $F$ ma gęstość, to dla $x\in ℝ:$

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$

Gęstość dystrybuanty ma praktyczne zastosowanie: jeśli $F$ jest dystrybuantą rozkładu $\mathbb{P},$ to często zachodzi konieczność całkowania względem miary $\mathbb{P}.$ Całkowanie względem abstrakcyjnych miar jest dość trudne (brak konkretnych narzędzi do obliczania całek), jednak jeśli $f$ jest gęstością dystrybuanty $F,$ to

$\underset{B}{\int }g(x)\mathrm{d}\mathbb{P}(x)=\underset{B}{\int }g(x)f(x)\mathrm{d}x,$

dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq ℝ$ i dla każdej funkcji borelowskiej $g$ przyjmującej wartości w $ℝ,\overline{ℝ},ℂ,{ℝ}^M$ dla pewnej liczby naturalnej $M.$

Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości

Istnieją ciągłe dystrybuanty niemające gęstości. Klasycznym przykładem jest:

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ C(x),& x\in [0,1],\\ 1,& x>1,\end{array}$

gdzie $C(x)$ oznacza funkcję Cantora. $C(x)$ jest prawie wszędzie stała, monotoniczna, ciągła i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $[0,1].$ Dystrybuanta $F$ nie może mieć zatem gęstości ponieważ $F^{\prime }=0$ prawie wszędzie.

Funkcja charakterystyczna

Szablon:Osobny artykuł Jeżeli $F$ jest dystrybuantą, to funkcję $\phi :ℝ\to ℂ$ określoną wzorem

$\phi (t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}dF(x)$

nazywamy funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F.$

Jeżeli $\phi$ jest funkcją charakterystyczną pewnej dystrybuanty, to jest ona funkcją jednostajnie ciągłą oraz

1. $\phi (0)=1,$
2. $\phi (-t)=\overline{\phi (t)}$ dla $t\in ℝ,$
3. $|\phi (t)|⩽1$ dla $t\in ℝ.$

Jednym z praktycznych zastosowań funkcji charakterystycznej jest tzw. wzór na odwrócenie, dokładniej, jeśli $\phi$ jest funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F,$ a $x,y$ są punktami ciągłości tej dystrybuanty, to

$F(x)-F(y)=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2\pi }\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{e^{-ity}-e^{-itx}}{it}\phi (t)dt.$

Dowód tego faktu przeprowadza się z wykorzystaniem twierdzenia Fubiniego.

Funkcje charakterystyczne wyznaczają jednoznacznie dystrybuanty, tzn. jeśli dystrybuanty mają te same funkcje charakterystyczne, to są równe. Funkcje charakterystyczne mówią także o własnościach dystrybuanty, związanych z gładkością – dokładniej, jeśli funkcja charakterystyczna jest całkowalna, to dystrybuanta jest klasy $C^1.$

Zbieżność a ciągłość

Słaba zbieżność

Dla ciągów dystrybuant wprowadza się dodatkowy rodzaj zbieżności. Ciąg dystrybuant $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_n(x)=F(x)$

dla każdego $x\in ℝ,$ będącego punktem ciągłości dystrybuanty $F.$

• W powyższej definicji istotne jest założenie „do dystrybuanty”. Jest tak, ponieważ ciąg dystrybuant może być zbieżny do funkcji, która nie jest dystrybuantą.

Przykład

Niech dany będzie ciąg dystrybuant:

$F_k(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x⩽-k\\ \frac{x+k}{2k},& -k<x⩽k\\ 1,& x>k\end{array}$

Wówczas dla każdego $x\in ℝ,$ $F_k(x)\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}F(x)=\frac{1}{2},$ ale funkcja $F(x)=\frac{1}{2}$ nie jest dystrybuantą.

• Jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty, to do dokładnie jednej dystrybuanty. Ważnym twierdzeniem dotyczącym słabej zbieżności jest poniższe twierdzenie Helly’ego.

Twierdzenie Helly’ego

Jeżeli ciąg dystrybuant $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F,$ a $g:ℝ\to ℝ$ jest ograniczoną funkcją ciągłą, to

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }g(x)d{F}_n(x)=\underset{ℝ}{\int }g(x)dF(x).$

Wnioskiem z twierdzenia Helly’ego jest fakt, że jeśli $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest ciągiem dystrybuant, a $({\phi }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych oraz $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest punktowo zbieżny do dystrybuanty $F,$ to ciąg $({\phi }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest punktowo zbieżny do funkcji charakterystycznej funkcji $F.$

Twierdzenie Lévy’ego-Craméra

Szablon:Osobny artykuł Niech $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ będzie ciągiem dystrybuant, a $({\phi }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ będzie ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych. Ciąg $({\phi }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji $\phi :ℝ\to ℂ$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty $F.$ $\phi$ jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F.$

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }g(x)d{F}_n(x)=\underset{ℝ}{\int }g(x)dF(x)$

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej $g.$

Zbieżność jednostajna

Każdy ciąg dystrybuant zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej jest zbieżny do niej jednostajnie. Fakt ten można udowodnić, korzystając z jednostajnej ciągłości dystrybuanty ciągłej.

Dystrybuanta zmiennej i wektora losowego

Niech $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P})$ będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną.

Jeśli $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ jest zmienną losową, to funkcja $F_X:ℝ\to ℝ$ dana wzorem:

$F_X(x)=\mathbb{P}(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X(\omega )⩽x\})$, $x\in ℝ$

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą zmiennej $X.$

$\begin{array}{cc}{F}_X(𝐱)& =\mathbb{P}(X^{-1}((-\mathrm{\infty },x_1]\times \dots \times (-\mathrm{\infty },x_n]))\\ & =\mathbb{P}(\bigcap _{k=1}^n\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X_k(\omega )⩽x_k\}),𝐱=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n\end{array}$

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą wektora $X.$

Każda zmienna losowa (wektor losowy) wyznacza pewną dystrybuantę oraz każda dystrybuanta jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (wektora losowego).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę