Funkcja regularna

Funkcja regularna – wieloznaczny termin matematyczny, używany w analizie i geometrii algebraicznejSzablon:Odn.

Analiza rzeczywista

Wykres funkcji $f(x):=\exp (-1/x),$ $x>0,$ $f(x):=0,$ $x⩽0.$ W zerze, tj. dla $x=0,$ jest gładka (klasy $C^{\mathrm{\infty }}$), jednak nie jest tam analityczna (klasy $C^{\omega }$), ponieważ jej wszystkie pochodne znikają.

Definicja

Funkcja regularna to funkcja różniczkowalna określoną liczbę razy. Dokładniej:

Niech będzie dana funkcja $f:𝒰\to ℝ,$ gdzie $𝒰\subseteq {ℝ}^n$ oraz $k\in \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}.$

Funkcję $f$ nazywamy funkcją regularną rzędu $k$ na $𝒰,$ jeżeli:

• wszystkie pochodne cząstkowe funkcji $f$ do rzędu $k$ włącznie istnieją w całej dziedzinie $𝒰$
• pochodne te są ciągłe w całej dziedzinie $𝒰.$

Mówimy też, że funkcja jest klasy $C^k(𝒰)$ i piszemy $f\in C^k(𝒰).$

Regularność $f\in C^0$ oznacza, że funkcja $f$ jest ciągła. Funkcję $f\in C^{\mathrm{\infty }}$ nazywa się funkcją gładką; jest ona dowolnie wysokiej regularności, to znaczy istnieją pochodne wszystkich rzędówSzablon:Odn. Ponadto dla klasy funkcji analitycznych stosuje się oznaczenie $C^{\omega }.$

Niektórzy autorzy używają innych, słabszych definicji. Czasem funkcje regularne definiuje się szerzej – wystarczy, że pochodna funkcji jest ciągła przedziałami, a gładkość to pełna ciągłość pochodnejSzablon:Odn.

Przykłady

1. Funkcja $f(x)=|x|,$ gdzie $|x|$ oznacza wartość bezwzględną, jest ciągła w każdym punkcie dziedziny rzeczywistej $ℝ,$ jednak pochodna $f^{\prime }(0)$ nie istnieje, więc $f$ jest klasy $C^0(ℝ).$
2. Funkcja:
    $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin (1/x)& \text{dla }x\ne 0,\\ 0& \text{dla }x=0\end{array}$
   ma pochodną określoną w całej dziedzinie rzeczywistej $ℝ,$ ale pochodna $f^{\prime }(0)$ nie jest ciągła; zatem $f$ jest klasy $C^0(ℝ).$
3. Funkcja $f(x)=e^{5x}$ jest różniczkowalna dowolnie wiele razy. Zatem $f\in C^{\mathrm{\infty }},$ czyli $f$ jest gładka.

Analiza zespolona

Funkcja regularna to funkcja analityczna i jednoznaczna na jakimś obszarze.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-23].