Rozkład wykładniczy

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Rozkład wykładniczy – rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której oczekujemy na zjawisko całkowicie losowe, mogące zajść w dowolnej chwili $t⩾0,$ przy czym rozkład prawdopodobieństwa nie zmienia się, jeśli wiemy, że zjawisko nie zaszło w przedziale czasu $[0,s].$ Ściślej, jeśli oznaczymy tę zmienną przez $X,$ możemy tę własność braku pamięci zapisać jako

$\mathbb{P}(X>s+t|X>s)=\mathbb{P}(X>t).$

Okazuje się, że wówczas, jeśli $X$ ma rozkład ciągły określony na przedziale $[0,\mathrm{\infty }),$ to jego gęstość musi być równa $\lambda e^{-\lambda x},$ dla pewnego $\lambda >0$Szablon:Odn.

Rozkład wykładniczy jest specjalnym przypadkiem rozkładu gamma, tzn. gdy $X$ ma rozkład $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{a}(1,\lambda ),$ to $X$ ma rozkład $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda ).$ Co więcej, jeśli zmienne $X_1,X_2,\dots ,X_n$ są niezależne i mają rozkład $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda ),$ to zmienna $X_1+X_2+\dots +X_n$ ma rozkład $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{a}(n,\lambda )$Szablon:Odn.

Innymi słowy, jeżeli w jednostce czasu zachodzi średnio $\lambda$ niezależnych zdarzeń, to rozkład wykładniczy opisuje odstępy czasu pomiędzy kolejnymi zdarzeniami, co służy konstrukcji procesu PoissonaSzablon:Odn.

Zobacz też

• zmienna losowa
• prawo rozpadu naturalnego
• rozkład gamma

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj