Proces Poissona

Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina (będąca procesem stochastycznym – procesem Markowa) $(N_t,t⩾0)$ zdefiniowana w następujący sposób:

$N_t=\{\begin{array}{cc}0,& X_1>t\\ \sup \{n:X_1+\dots +X_n⩽t\},& X_1⩽t\end{array}.$

Gdzie ciąg $(X_i{)}_{i=1,2,3...}$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych parametrem $\lambda .$

Zmienna $X_i$ oznacza czas pomiędzy (i-1)-szym a i-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), a $N_t$ to liczba zgłoszeń, które wystąpiły do chwili t.

Równoważne definicje

Proces stochastyczny jest procesem Poissona o intensywności $\lambda$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

(i)

1. $N_0=0;$ W czasie startowym przyjmuje wartość zero.
2. $(N_t,t⩾0)$ ma przyrosty niezależne.
3. $N_b-N_a\sim Poiss(\lambda (b-a))dlab>a$ różnice między stanami mają rozkład Poissona o podanym parametrze.

(ii)

1. $N_0=0.$
2. $(N_t,t⩾0)$ ma niezależne i stacjonarne przyrosty.
3. $P(N_h=1)=\lambda h+o(h).$
4. $P(N_h⩾2)=o(h).$

Niezależność przyrostów oznacza, że liczba zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Proces ten więc nie ma pamięci – wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w danym czasie.

Własności

Niech $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i.$ Wtedy $S_n$ ma rozkład Erlanga z parametrami $k=n,\theta =1/\lambda .$

Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Lévy’ego.

Zobacz też

• teoria prawdopodobieństwa