Funkcja jednostajnie ciągła

Jednostajna ciągłość – własność funkcji określonych między przestrzeniami metrycznymi będąca wzmocnieniem pojęcia ciągłości.

Właściwość została zdefiniowana w dziewiętnastym wieku. W 1854 Dirichlet zdefiniował teorię w jednym z wykładów, że funkcja ciągła na domkniętym przedziale jest jednostajnie ciągła, co udowodnił Heine w 1872 rokuSzablon:Odn.

Definicje

Niech $(X,\varrho )$ i $(Y,\sigma )$ będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech $f:X\to Y.$ Funkcję $f$ nazywamy jednostajnie ciągłą, gdy:

• dla każdego $\epsilon >0$ istnieje takie $\delta >0,$ że dla wszelkich $x_1,x_2\in X$ zachodzi nierówność $\sigma (f(x_1),f(x_2))<\epsilon ,$ o ile tylko $\varrho (x_1,x_2)<\delta .$ Formalnie:

${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{\delta >0}{\mathrm{\forall }}_{x_1,x_2\in X}\varrho (x_1,x_2)<\delta \Rightarrow \sigma (f(x_1),f(x_2))<\epsilon .$

Powyższa charakteryzacja typu Cauchy’ego ma też swój odpowiednik typu Heinego:

• dla dowolnych dwóch ciągów $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},(y_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ zachodzi:

$\varrho (x_n,y_n)\to 0\Rightarrow \sigma (f(x_n),f(y_n))\to 0.$

Jeżeli przestrzenią metryczną jest zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ ze standardową metryką euklidesową $\varrho (a,b):=|a-b|,$ dla $a,b\in ℝ,$ to jednostajną ciągłość funkcji $f:I\to ℝ,$ gdzie $I\subset ℝ$ jest przedziałem liczb rzeczywistych, można formalnie zapisać

${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{\delta >0}{\mathrm{\forall }}_{x_1,x_2\in I}|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon .$

Własności funkcji jednostajnie ciągłych

Warunki konieczne (konsekwencje)

• Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.

Dowód. Jeśli $f:X\to Y$ jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi $(X,\varrho )$ i $(Y,\sigma ),$ to ciągłość $f$ oznacza, że dla każdego punktu $x\in X$ i każdego $\epsilon >0$ takie istnieje ${\delta }_{x,\epsilon }>0$ (indeks dolny przy $\delta$ oznacza, że liczba ta zależy od $x$ i $\epsilon$) taka, że obraz $f(K(x,{\delta }_{x,\epsilon }))$ kuli $K(x,{\delta }_{x,\epsilon })$ o środku $x$ i promieniu ${\delta }_{x,\epsilon }$ zawiera się w kuli o środku $f(x)$ i promieniu $\epsilon .$ Jednostajna ciągłość $f$ oznacza, że dla każdego $\epsilon >0$ istnieje takie ${\delta }_{\epsilon }>0,$ że obraz $f(K)$ dowolnej kuli $K$ o promieniu ${\delta }_{\epsilon }$ zawiera się w kuli o promieniu $\epsilon .$ Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.

• Jeśli $(x_n)$ jest ciągiem Cauchy’ego elementów przestrzeni $X$ oraz $f:X\to Y$ jest jednostajnie ciągła, to ciąg $(f(x_n))$ jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni $Y.$

Dowód. Niech $\epsilon >0.$ Na mocy jednostajnej ciągłości $f:X\to Y$ istnieje taka liczba $\delta >0,$ że dla dowolnych $x,y\in X$ spełniających warunek $\varrho (x,y)<\delta$ zachodzi oszacowanie $\sigma (f(x),f(y))<\epsilon .$ Skoro $(x_n)$ jest ciągiem Cauchy’ego, to istnieje taka liczba naturalna $N,$ że dla $n,k⩾N$ zachodzi $\varrho (x_n,x_k)<\delta ,$ a zatem $\sigma (f(x_n),f(x_k))<\epsilon$ dla $n,k⩾N.$ Dowodzi to, że ciąg $(f(x_n))$ jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni $Y.$ ${}_{◻}$

Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić, czy dana funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Np. niech $f:(0,2)\to ℝ$ będzie funkcją daną wzorem $f(x)=1/x.$ Wówczas ciąg $(1/n)$ jest ciągiem Cauchy’ego, jednak $f(1/n)=n,$ czyli ciąg $(f(1/n))$ nie jest ciągiem Cauchy’ego w $ℝ.$ Wobec powyższego $f$ nie jest jednostajnie ciągła.

• Niech $(X,\varrho )$ będzie całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną (np. $X$ jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła $f:X\to ℂ$ jest ograniczona.

Dowód. Dla $\epsilon =1$ niech $\delta >0$ będzie takie, iż dla dowolnych $x,y\in X$ spełniających warunek $\varrho (x,y)<\delta$ zachodzi oszacowanie $|f(y)-f(x)|<1.$ Niech $K_1,K_2,\dots ,K_n$ będzie ciągiem kul otwartych o promieniu $\delta ,$ których suma jest równa $X.$ Niech $x_i$ będzie środkiem $K_i(i⩽n).$ Niech $M=\max \{|f(x_i)|:i⩽n\}.$

Ustalmy $y\in X.$ Wówczas $y\in K_{i_y}$ dla pewnego $i_y⩽n.$ Ostatecznie

$|f(y)|=|f(y)-f(x_{i_y})+f(x_{i_y})|⩽1+M,$

co dowodzi ograniczoności $f.$ ${}_{◻}$

Warunki wystarczające

• Każda funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest jednostajnie ciągła.

Dowód. Niech $f:X\to Y$ będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą $L.$ Niech $x_1,x_2\in X$ oraz niech dany będzie $\epsilon >0.$ Gdy $\delta =\epsilon /L,$ to $\sigma (f(x_1),f(x_2))⩽L\cdot \varrho (x_1,x_2)⩽L\cdot \epsilon /L=\epsilon ,$ o ile tylko $\varrho (x_1,x_2)⩽\delta .$ ${}_{◻}$

Warunek Lipschitza jest warunkiem wystarczającym, ale nie koniecznym ciągłości jednostajnej. Przykładem funkcji jednostajnie ciągłej, która nie spełnia warunku Lipschitza, jest pierwiastek kwadratowy: $f(x)=\sqrt{x}$ na przedziale $[0,1].$

• Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła (twierdzenie Heinego-Cantora).

• W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym $[a,b]$ jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja $f(x)=1/x$ na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągłaSzablon:Fakt.

Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech $U,V$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie $f:U⟶V$ jest jednostajnie ciągłe, jeśliSzablon:Fakt:

dla każdego otoczenia $B$ zera przestrzeni $V$ istnieje otoczenie $A$ zera przestrzeni $U$ takie, że dla każdych $v_1,v_2\in A$ zachodzi: $v_1-v_2\in A\Rightarrow f(v_1)-f(v_2)\in B.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• J.B. Conway, Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. Szablon:ISBN, s. 25–28.
• S.C. Malik, Principles of Real Analysis, New Age International, 1982, s. 127–129.
• Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2020.
• Wojciech Kryszewski, Wykład analizy matematycznej, cz. 1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe UMK, 2009. Szablon:ISBN.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-02-07].
• Szablon:Otwarty dostęp Uniform continuity Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].