Twierdzenie Heinego-Cantora

Twierdzenie Heinego-Cantora – nazwane na cześć Heinricha Heinego oraz Georga Cantora twierdzenie mówiące że każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.

Dowód

Niech $f:X\to Y$ będzie funkcją ciągłą działającą z przestrzeni zwartej $(X,\varrho )$ w przestrzeń metryczną $(Y,\sigma ).$ Ustalmy $\epsilon >0.$

Z ciągłości $f$ dla każdego $x\in X$ istnieje liczba ${\delta }_x>0$ taka, że $\sigma (f(x),f(y))<\epsilon /2$ dla każdego $y$ z kuli $K(x,{\delta }_x).$

Na mocy zwartości $X$ z pokrycia $\{K(x,{\delta }_x/2):x\in X\}$ można wybrać podpokrycie skończone $K(x_1,{\delta }_{x_1}/2),\dots ,K(x_k,{\delta }_{x_k}/2).$

Niech $\delta =\frac{1}{2}\min \{{\delta }_{x_1},\dots ,{\delta }_{x_k}\}.$ Wówczas na mocy nierówności trójkąta dla dowolnych $x,y\in X$ takich, że $\varrho (x,y)<\delta ,$ istnieje punkt $x_i$ taki, że $x,y\in K(x_i,{\delta }_{x_i}),$ ponadto: $\sigma (f(x),f(y))⩽\sigma (f(x),f(x_i))+\sigma (f(y),f(x_i))<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .$

To dowodzi, że $f:X\to Y$ jest jednostajnie ciągła. ${}_{◻}$

Historia

Według opracowania Rusnocka i Kerra-Lawsona, Heine opublikował pierwszą definicję jednostajnej ciągłości (1870) i dowód twierdzenia (1872), nie przypisując sobie oryginalności. Zbliżone konstrukcje występowały implicite już wcześniej, m.in. u Bolzana i Dirichleta. Koncepcje Heinego rozwijały się w tym obszarze w tandemie ze współczesnymi im publikacjami Cantora.

Linki zewnętrzne

Inne dowody:

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Dowody na ProofWiki