Twierdzenie Lévy’ego-Craméra

Twierdzenie

Niech $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ będzie ciągiem dystrybuant, a $({\phi }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ będzie ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych. Ciąg $({\phi }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji $\phi$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty $F.$ Dodatkowo, $\phi$ jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F.$

Wniosek

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }g(x)d{F}_n(x)=\underset{ℝ}{\int }g(x)dF(x)$

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej $g.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę