Zbieżność według rozkładu

Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem słabą zbieżnością.

Definicja

Niech $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech $F_{\xi }$ oznacza dystrybuantę wektora losowego $\xi .$ Ciąg wektorów losowych $({\xi }_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny według rozkładu do wektora losowego $\xi ,$ jeżeli ciąg dystrybuant $(F_{{\xi }_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F_{\xi }.$ Wektor losowy $\xi$ nazywa się wówczas granicą ciągu wektorów losowych $({\xi }_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ w sensie zbieżności według rozkładu.

Uwagi

• Zdanie „ciąg $({\xi }_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny według rozkładu do $\xi$”, używając symboliki matematycznej, zapisuje się krótko:

${\xi }_k\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\overset{F}{\to }}\xi .$

• Granica w sensie zbieżności według rozkładu nie jest wyznaczona jednoznacznie (prawie na pewno). Wynika to stąd, iż jeśli ${\xi }_k\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\overset{F}{\to }}\xi$ to dowolny wektor losowy o rozkładzie identycznym z rozkładem wektora $\xi$ jest granicą ciągu $({\xi }_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ w sensie zbieżności według rozkładu.

Twierdzenie Craméra-Wolda

Szablon:Osobny artykuł Twierdzenie Craméra-Wolda sprowadza zbieżność według rozkładu wektorów losowych do zbieżności według rozkładu zmiennych losowych.

Przykład

Na przestrzeni probabilistycznej $([0,1],ℬ([0,1]),P),$ gdzie $P$ jest jednowymiarową miarą Lebesgue’a określoną na σ-ciele $ℬ([0,1])$ borelowskich podzbiorów przedziału $[0,1],$ określamy ciąg $({\xi }_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ zmiennych losowych, danych wzorami:

${\xi }_k(\omega )=\{\begin{array}{cc}0,& 0⩽\omega ⩽\frac{k}{2k+1}\\ 1,& \frac{k}{2k+1}<\omega ⩽1\end{array},k\in \mathbb{N}$

Dystrybuanta $F_{{\xi }_k}:ℝ\to ℝ$ zmiennej losowej ${\xi }_k$ jest więc postaci:

$F_{{\xi }_k}(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{k}{2k+1},& 0⩽x<1\\ 1,& x⩾1\end{array}$

Ciąg dystrybuant $(F_{{\xi }_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$ jest, przy $k\to \mathrm{\infty }$ zbieżny do dystrybuanty $F(x)$ danej wzorem:

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x⩽0\\ \frac{1}{2},& 0<x⩽1\\ 1,& x>1\end{array}$

w każdym punkcie $x$ będącym punktem ciągłości dystrybuanty $F.$ Ciąg $(F_{{\xi }_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$ jest wobec tego słabo zbieżny do dystrybuanty $F.$

Zgodnie z uwagą, granicą ciągu zmiennych $({\xi }_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ w sensie zbieżności według rozkładu jest zarówno zmienna losowa $\eta (\omega )$ dana wzorem:

$\eta (\omega )=\{\begin{array}{cc}0,& 0⩽\omega <\frac{1}{2}\\ 1,& \frac{1}{2}⩽\omega ⩽1\end{array}$

jak również zmienna losowa $\gamma (\omega )$ dana wzorem:

$\gamma (\omega )=\{\begin{array}{cc}1,& 0⩽\omega <\frac{1}{2}\\ 0,& \frac{1}{2}⩽\omega ⩽1\end{array}$

Reasumując:

${\xi }_k\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\overset{F}{\to }}\eta$ oraz ${\xi }_k\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\overset{F}{\to }}\gamma .$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę