Rozkład geometryczny

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Rozkład geometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w $k$-tej próbie. $k$ musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).

Zmienna losowa X ma więc rozkład Geo(p) jeśli

$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$

Zauważmy, że jeśli X ma rozkład Geo(p), to $P(X>k)=(1-p{)}^k.$ Zatem jej dystrybuanta jest zadana wzorem $F_X(k)=P(X⩽k)=1-(1-p{)}^k$ dla liczb naturalnych k.

Uwaga: Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane $k$ jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1.

Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla $r=1$.

Ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy.

Momenty

Funkcja tworząca prawdopodobieństwo zmiennej losowej X o rozkładzie Geo(p) jest zadana wzorem

$f(t)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{t}^k(1-p{)}^{k-1}p=\frac{pt}{1-(1-p)t}$

Z tego otrzymujemy

$\mathrm{E}(X)=f^{\prime }(1)=\frac{p}{(1-(1-p)t{)}^2}{|}_{t=1}=\frac{1}{p}$

oraz

$\mathrm{E}(X(X-1))=f^{″}(1)=\frac{2(1-p)}{p^2}$

z czego otrzymujemy

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=f^{″}(1)+f^{\prime }(1)-(f^{\prime }(1){)}^2=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$

Wyższe momenty główne $m_k$ rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

$m_{k+1}=(1-p)((\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p})m_k-\frac{d{m}_k}{dp})$

Momenty centralne ${\mu }_a$ rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty centralne. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

${\mu }_{a+1}=(1-p)(\frac{a}{p^2}{\mu }_{a-1}-\frac{d{\mu }_a}{dp})$

Inne własności

Rozkład geometryczny jest bezpamięciowym: jeśli $X$ ma rozkład Geo(p) i $k,l$ są liczbami naturalnymi, to

$P(X>k+l|X>k)=\frac{P(X>k+l,X>k)}{P(X>k)}=\frac{P(X>k+l)}{P(X>k)}=$

$\frac{(1-p{)}^{k+l}}{(1-p{)}^k}=(1-p{)}^l=P(X>l).$

Związki z innymi rozkładami

1. Jeśli $X_1,\dots ,X_r$ są niezależne i mają rozkład Geo(p), to ich suma $X_1+\dots +X_r$ ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p)
2. Jeśli $X_1,\dots ,X_r$ są niezależne i mają rozkład Geo(p) to zmienna losowa $Y=\min (X_1,\dots ,X_r)$ ma rozkład geometryczny z parametrem $1-(1-p{)}^r$

Zobacz też

• rozkład hipergeometryczny