Rozkład hipergeometryczny

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Rozkład hipergeometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa związany z tzw. schematem urnowym.

Zmienna losowa o tym rozkładzie określa prawdopodobieństwo uzyskania $k$ sukcesów ($k$-krotnego wylosowania obiektu mającego określoną cechę) w $n$-elementowej próbie, czyli $n$ pojedynczych próbkowaniach bez zwracania z populacji o skończonej wielkości $N$, w której znajduje się dokładnie $m$ obiektów mających tę cechę. W każdym pojedynczym próbkowaniu może nastąpić albo sukces, albo porażka.

Niekiedy spotyka się inny sposób sformułowania, np. zamiast $N$ (wielkości całej populacji) parametrem jest $N-m$ (liczba obiektów niemających określonej cechy w populacji).

Funkcja masy prawdopodobieństwa

Zmienna losowa $X$ ma rozkład hipergeometryczny, gdy funkcja masy prawdopodobieństwa (pmf) jest dana wzorem

$p_X(k)=\mathbb{P}(X=k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-m}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})},$

gdzie

• $N$ to wielkość populacji,
• $m$ to liczba sukcesów (obiektów, które mają określoną cechę) w tej populacji,
• $n$ to liczba pojedynczych losowań (wielkość pobieranej próbki),
• $k$ to liczba sukcesów zaobserwowanych w próbce,
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})$ to symbol Newtona.

Wzór ten stosuje się dla k, takich że$\max (0,n+m-N)⩽k⩽\min (m,n)$. Poza tym przedziałem prawdopodobieństwa $p_X(k)$ wynoszą zero.

Przykład

W grze Lotto uczestnik kupuje zakład, w ramach którego typuje, które z 49 liczb zostaną wylosowane w losowaniu odbywającym się w określonym terminie. W pojedynczym losowaniu losuje się 6 liczb. W pojedynczym zakładzie uczestnik typuje również 6 liczb. Zmienna $X$ określająca, ile z wytypowanych w tym zakładzie liczb zostanie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami $N=49$, $m=6$, $n=6$. Prawdopodobieństwo prawidłowego wytypowania wszystkich sześciu liczb (trafienia szóstki) wynosi więc:

$p_X(6)=\mathbb{P}(X=6)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})(\genfrac{}{}{0ex}{}{49-6}{6-6})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})}=\frac{1}{13983816}\approx 0,0000000715,$

zaś prawdopodobieństwo uzyskania trójki (prawidłowego wytypowania dokładnie trzech liczb) wynosi:

$p_X(3)=\mathbb{P}(X=3)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})(\genfrac{}{}{0ex}{}{49-3}{6-3})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})}=\frac{246820}{13983816}\approx 0,0177.$

Jeżeli uczestnik gra systemem i typuje 8 liczb (co jest równoważne z zakupem odpowiedniej liczby powiązanych zakładów), zmienna $Y$ określająca, ile z wytypowanych liczb będzie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami $N=49$, $m=8$, $n=6$. W takiej sytuacji prawdopodobieństwo uzyskania szóstki wynosi:

$p_Y(k)=\mathbb{P}(Y=k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6})(\genfrac{}{}{0ex}{}{49-8}{6-6})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})}\approx 0,0000020023$

Zobacz też

• rozkład geometryczny