Rozkład Pascala

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox

Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący m.in. liczbę sukcesów i porażek w niezależnych i posiadających równe prawdopodobieństwo sukcesu próbach Bernoulliego. Jest uogólnieniem rozkładu geometrycznego dla wielu prób.

Termin „ujemny rozkład dwumianowy” nie jest w pełni usystematyzowany. Może dotyczyć jednego z kilku wariantów funkcji opisujących te same zmienne losowe z subtelnymi różnicami w parametryzacji – liczby prób, albo sukcesów lub porażek (czasem liczonych bez ostatniego), przy określonej wartości jednej z tych zmiennych. Momenty i inne charakterystyki poszczególnych wersji rozkładu różnią o proste transformacje. Nazwa „rozkład Pascala” opisuje z reguły warianty dla wartości całkowitych, liczonych bez ostatniego zdarzenia.

Wariant dla liczby sukcesów przed $r$ porażką

Rozważmy ciąg $X_1,X_2,\dots$ niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym $p.$ Ustalmy liczbę $r.$ Obserwujemy ten ciąg do momentu stwierdzenia $r$-tej porażki. Oznaczmy ten moment przez $T.$ O zmiennej losowej $T-r$ mówimy, że ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p) z parametrami $r$ oraz $p.$

Niech $X$ ma rozkład NB(r,p). Wtedy $X=k$ (gdzie $k=0,1,2,\dots$) jeśli w $r+k$-tym momencie zaszła porażka oraz w ciągu $X_1,\dots ,X_{r+k-1}$ zaszło $r-1$ porażek. Zatem

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+k-1}{r-1})(1-p{)}^{r-1}{p}^{(r+k-1)-(r-1)}(1-p),$

czyli

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+k-1}{r-1})(1-p{)}^r{p}^k.$

Na rozkład ten można spojrzeć w następujący sposób: rozważamy ciąg niezależnych zmiennych $Y_1,\dots ,Y_r$ o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu $1-p$ odpowiadające obserwacji naszego ciągu po porażce $r-1$ do porażki $r$ włącznie. Niech $Y=Y_1+\dots +Y_r.$ Wtedy zmienna losowa $X=Y-r,$ zliczająca jedynie liczbę sukcesów, ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami $r$ oraz $p.$ Z tego otrzymujemy natychmiast wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej o tym rozkładzie

$E(X)=r\cdot \frac{1}{1-p}-r=\frac{rp}{1-p}.$

W podobny sposób można wyprowadzić wzór na wariancję.

Dla porównania, w trochę innej definicji ujemnego rozkładu dwumianowego, porażkę zastępuje się sukcesem oraz nie odejmuje się parametru $r$ od momentu zajścia $r$-tego sukcesu. Otrzymujemy wtedy zmienną losową $X$ o następujący rozkładzie

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{r-1})p^r(1-p{)}^{k-r},k⩾r.$

Zmienna ta jest sumą r niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu $p.$

Inne warianty

Rozkład był prezentowany w literaturze na kilka różnych sposobów, z subtelnymi zmianami parametryzacji. Różnice w notacji dotyczą m.in. stosowania równoważności pomiędzy liczbą prób $n,$ sukcesów $k$ i porażek $r,$ np. $n=k+r,$ tego, czy nośnik zaczyna się od 0 czy 1, oraz z możliwości przedstawienia wzoru z użyciem różnych form symbolu Newtona, także z wykorzystaniem tożsamości kombinacji dopełniających:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k}).$

Poniższa tabela przedstawia niektóre spotykane formy rozkładu.

$X$ zlicza:	Nośnik i funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	Wzór
$k$ sukcesów, przy danych $r$ porażkach	dla $k\in \{0,1,2,\dots \}$$f(k;r,p)\equiv \mathrm{Pr}(X=k)=$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})p^k(1-p{)}^r$
		$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1})p^k(1-p{)}^r$ (wariant opisany powyżej)
		$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})p^k(1-p{)}^r$
$n$ prób, przy danych $r$ porażkach	dla $n\in \{r,r+1,r+2,\dots \}$$f(n;r,p)\equiv \mathrm{Pr}(X=n)=$
		$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r-1})p^{n-r}(1-p{)}^r$
		$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{n-r})p^{n-r}(1-p{)}^r$
$r$ porażek, przy danych $k$ sukcesach	dla $r\in \{0,1,2,\dots \}$$f(r;k,p)\equiv \mathrm{Pr}(X=r)=$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r})p^k(1-p{)}^r$
		$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k-1})p^k(1-p{)}^r$
		$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r})p^k(1-p{)}^r$
$n$ prób, przy danych $k$ sukcesach	dla $n\in \{k,k+1,k+2,\dots \}$$f(n;k,p)\equiv \mathrm{Pr}(X=n)=$
		$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})p^k(1-p{)}^{n-k}$
		$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{n-k})p^k(1-p{)}^{n-k}$
$k$ sukcesów, przy danych $n$ próbach (rozkład dwumianowy – dla porównania)	dla $k\in \{0,1,2,\dots ,n\}$$f(k;n,p)\equiv \mathrm{Pr}(X=k)=$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^r$

Wzór można także rozszerzyć dla niecałkowitych wartości $r$ z użyciem funkcji gamma, np.:

$\begin{array}{cc}f(r,k,p)& =\frac{(k+r-1)!}{k!(r-1)!}{p}^r(1-p{)}^k\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1})p^r(1-p{)}^k\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(r+k)}{k!\mathrm{\Gamma }(r)}{p}^r(1-p{)}^k\end{array}$

opisuje, jakie jest prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania na $r$-ty sukces będzie wynosił $k+r.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę