Twierdzenie Parsevala

Twierdzenie Parsevala – tożsamośćSzablon:Odn, która wynika z własności unitarności transformacji Fouriera, co nieformalnie można określić, że suma (lub całka) kwadratu funkcji równa się sumie (lub całce) kwadratu jej transformaty. W 1799 roku twierdzenie na temat szeregów sformułował Mark-Antoine Parseval, które później zostało zastosowane do szeregu Fouriera.

Chociaż termin „twierdzenie Parsevala” jest często używany aby opisać unitarność dowolnej transformaty Fouriera, zwłaszcza w fizyce i inżynierii. to bardziej właściwym terminem dla tej własności jest twierdzenie Plancherela.

Opis twierdzenia Parsevala

Jeżeli funkcje $A(x)$ i $B(x)$ całkowalne z kwadratem (w sensie miary Lebesgue’a) o wartościach zespolonych nad R, okresowe o okresie $2\pi ,$ zapiszemy za pomocą szeregów Fouriera

$A(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{inx}$

oraz

$B(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{e}^{inx},$

to zachodzi równość

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\overline{b_n}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A(x)\overline{B(x)}dx,$

gdzie $i$ oznacza jednostkę urojoną a pozioma kreska nad wyrażeniem oznacza sprzężenie zespolone.

Ta postać twierdzenia występuje w literaturze pod nazwą uogólnione twierdzenie Rayleigha, natomiast nazwa twierdzenie Parsevala, zwanego również twierdzeniem o energii dotyczy przypadku szczególnego, w którym za $B(x)$ jest podstawione $A(x)$Szablon:Odn.

Zapis stosowany w inżynierii i fizyce

W fizyce i inżynierii twierdzenie Parsevala często jest zapisywane jako:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x(t){|}^{2}dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|X(f){|}^{2}df,$

gdzie $X(f)=ℱ\{x(t)\}$ przedstawia ciągłą transformację Fouriera (w unormowanej, unitarnej postaci) z $x(t),$ a $f$ przedstawia składową częstotliwości (nie pulsację) w $x.$

Interpretacja takiego zapisu jest taka, że całkowita energia zawarta w sygnale $x(t)$ w całym przedziale czasu jest równa sumie energii składowych uzyskanych z transformacji Fouriera zsumowanych w całym przedziale częstotliwości $f.$

Dla sygnałów dyskretnych twierdzenie przyjmuje postać:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x[n]{|}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|X(e^{i\varphi }){|}^{2}d\varphi ,$

gdzie $X$ jest dyskretną w czasie transformacją Fouriera (DTFT) z $x,$ a $\varphi$ oznacza pulsację (w radianach na sekundę) w $x.$

Alternatywną formą jest postać dla dyskretnej transformacji Fouriera:

$\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]{|}^2,$

gdzie $X[k]$ to DFT z $x[n]$ oraz obie tablice są o długości $N.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Parseval equality Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].