Dyskretna transformata Fouriera

Szablon:Dopracować Dyskretna transformata Fouriera (Szablon:Ang., DFT) – transformata Fouriera wyznaczona dla sygnału próbkowanego, a więc dyskretnego.

Dyskretna transformata Fouriera

DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału $(a_0,a_1,a_2,\dots ,a_{N-1}),a_i\in ℝ$ w ciąg harmonicznych: $(A_0,A_1,A_2,\dots ,A_{N-1}),A_i\in ℂ$ zgodnie ze wzorem:

$A_k=\sum _{n=0}^{N-1}{a}_n{w}_N^{-kn},0⩽k⩽N-1,$

$w_N=e^{i\frac{2\pi }{N}},$

gdzie:

$i$ – jednostka urojona,

$k$ – numer harmonicznej,

$n$ – numer próbki sygnału,

$a_n$ – wartość próbki sygnału,

$N$ – liczba próbek.

Przekształcenie odwrotne

Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:

$a_n=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{A}_k{w}_N^{kn},0⩽n⩽N-1.$

Postać macierzowa DFT

Wzory na przekształcenie proste, jak i odwrotne, można zdefiniować w postaci macierzowej, odpowiednio w sposób następujący:

$𝐀=𝐌𝐚$

$𝐚=𝐖𝐀$

Macierze $a,$ $A,$ $M,$ $W$ mają następującą postać:

$𝐚=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ ⋮\\ a_{N-1}\end{array}\right]𝐀=\left[\begin{array}{c}{A}_0\\ A_1\\ ⋮\\ A_{N-1}\end{array}\right]$

$𝐌=\left[\begin{array}{cccc}{w}_N^{-0\cdot 0}& w_N^{-1\cdot 0}& \dots & w_N^{-(N-1)\cdot 0}\\ w_N^{-0\cdot 1}& w_N^{-1\cdot 1}& \dots & w_N^{-(N-1)\cdot 1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ w_N^{-0\cdot (N-1)}& w_N^{-1\cdot (N-1)}& \dots & w_N^{-(N-1)(N-1)}\end{array}\right]𝐖=\frac{1}{N}\left[\begin{array}{cccc}{w}_N^{0\cdot 0}& w_N^{1\cdot 0}& \dots & w_N^{(N-1)\cdot 0}\\ w_N^{0\cdot 1}& w_N^{1\cdot 1}& \dots & w_N^{(N-1)\cdot 1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ w_N^{0\cdot (N-1)}& w_N^{1\cdot (N-1)}& \dots & w_N^{(N-1)(N-1)}\end{array}\right]$

Macierze $M$ i $W$ mają wymiar $N\times N$ oraz spełniają warunek $W=M^{-1}$ lub zapisując inaczej $WM=I,$ gdzie $I$ – macierz jednostkowa.

Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera

Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera w punkcie $(m,n)$ definiuje się jako:

$V(m,n)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}U(x,y)w_N^{-ny}{w}_M^{-mx}.$

Przekształcenie odwrotne:

$U(x,y)=\frac{1}{NM}\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}V(m,n)w_N^{ny}{w}_M^{mx}.$

Dwuwymiarowa transformata Fouriera wykorzystywana jest m.in. do cyfrowego przetwarzania obrazów.

Powiązanie z transformatą Z

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. DTF może być wyznaczona przez określenie wartości transformaty Z:

$X(z)$ dla $z=e^{j\omega }$

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Zobacz też

• cyfrowe przetwarzanie sygnałów
• dyskretna transformata kosinusowa
• matematyka dyskretna
• szybka transformata Fouriera

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę