Transformacja Z

Tabela podstawowych transformacji Z.

Transformata Z, transformata Laurenta – jest odpowiednikiem transformaty Laplace’a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Rys historyczny

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace’a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku Szablon:Link-interwiki i Lotfi Zadeh pracując z zagadnieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.

Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace’a, co wydaje się zasadne, jako że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace’a, transformata Hartleya itp.).

Nieco później Szablon:Link-interwiki wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, którą to datuje się na rok 1730, kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre’a w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta, gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

Definicja

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu $f^{*}(t)$ jest nazywana funkcja:

$Z[f^{*}(t)]=Z[f(kT)]=F(z)$

określona wzorem:

$F(z)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(kT)z^{-k},$

gdzie: $F(z)$ – transformata oryginału; $f(kT)$ – oryginał dyskretny; $k=1,2,\dots$

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza; np. dla funkcji $f(k)=k!$ lub $f(k)=e^{a{k}^2}(a>0)$ nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

Własności

Liniowość

$Z[a{f}_1(kT)+b{f}_2(kT)]=a{F}_1(z)+b{F}_2(z).$

Przesunięcie w dziedzinie czasu

$Z[f(kT+mT)\cdot H(kT)]=z^m[F(z)-\sum _{n=0}^{m-1}f(nT)z^{-n}],$

gdzie $m$ – dowolna dodatnia liczba całkowita; $H(kT)$ – funkcja skokowa.

Transformata sumy

$Z[g(kT)]=Z[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{k}f(nT)]=\frac{z}{z-1}F(z).$

Transformata różnicy

$Z[f((k+1)T)-f(kT)]=(z-1)F(z)-zf(0).$

Splot

$Z[f_1(n)*f_2(n)]=Z[f_1(0)\cdot f_2(n)+\dots +f_1(k)\cdot f_2(n-k)+\dots +f_1(n)\cdot f_2(0)]=F_1(z)\cdot F_2(z).$

Twierdzenie o wartości początkowej

$\underset{k\to 0^{+}}{\lim }f(kT)=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(z).$

Twierdzenie o wartości końcowej

Jeśli istnieje granica, $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(kT),$ to ma ona wartość:

$f_{\mathrm{\infty }}=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{z-1}{z}F(z).$

Tabela transformat

W poniższej tabeli przyjęto, że:

• $u(n)=\{\begin{array}{cc}1,& n⩾0\\ 0,& n<0\end{array},$
• $\delta (n)=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}.$

Lp.	$x(n)$	transformata Z, $X(z)$	obszar zbieżności
1	$\delta (n)$	$1$	$z\in ℝ$
2	$u(n)$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$|z|>1$
3	$a^{n}u(n)$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|>|a|$
4	$n{a}^{n}u(n)$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|>|a|$
5	$-a^{n}u(-n-1)$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|<|a|$
6	$-n{a}^{n}u(-n-1)$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|<|a|$
7	$\cos ({\omega }_{0}n)u(n)$	$\frac{1-z^{-1}\cos ({\omega }_0)}{1-2z^{-1}\cos ({\omega }_0)+z^{-2}}$	$|z|>1$
8	$\sin ({\omega }_{0}n)u(n)$	$\frac{z^{-1}\sin ({\omega }_0)}{1-2z^{-1}\cos ({\omega }_0)+z^{-2}}$	$|z|>1$
9	$a^n\cos ({\omega }_{0}n)u(n)$	$\frac{1-a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)}{1-2a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)+a^2{z}^{-2}}$	$|z|>|a|$
10	$a^n\sin ({\omega }_{0}n)u(n)$	$\frac{a{z}^{-1}\sin ({\omega }_0)}{1-2a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)+a^2{z}^{-2}}$	$|z|>|a|$

Przykłady

Przykład 1

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera, $\delta (n).$

Rozwiązanie

Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:

$\delta (n)=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}.$

Korzystając z definicji otrzymujemy:

$Z[\delta (n)]=\dots +0\cdot z^2+0\cdot z^1+1\cdot z^0+0\cdot z^{-1}+0\cdot z^{-2}+\dots ,$

stąd:

$Z[\delta (n)]=1.$

Przykład 2

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu $x(n)$ zdefiniowanego następująco:

$x(n)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^n},& \text{dla }n⩾0\\ 0,& \text{dla }n<0\end{array}.$

Rozwiązanie

Zauważmy, że ciąg $x(n)$ można zapisać za pomocą następującego zwartego wzoru:

$x(n)=u(n){\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$

Zatem:

$Z[x(n)]=\dots +0\cdot z^2+0\cdot z^1+1\cdot z^0+\frac{1}{2}\cdot z^{-1}+\frac{1}{4}\cdot z^{-2}+\frac{1}{8}\cdot z^{-3}+\dots$

$Z[x(n)]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}{z}^{-1}\right)}^n.$

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem $q=\frac{1}{2}{z}^{-1}.$ Szereg jest zbieżny gdy $|q|<1$ co oznacza, że:

$|z|>\frac{1}{2}.$

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej $z,$ nierówność $|z|>\frac{1}{2}$ jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu $\frac{1}{2}.$ Gdy $|z|>\frac{1}{2},$ transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

$Z[x(n)]=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}{z}^{-1}}=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}.$

Przykład 3

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu $x(n)=u(n)a^n.$

Rozwiązanie

Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:

$Z[x(n)]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^n{z}^{-n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(a{z}^{-1}\right)}^n.$

Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:

$\left|a{z}^{-1}\right|<1⟹|z|>|a|.$

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej $z,$ nierówność $|z|>|a|$ jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu $|a|.$ Gdy $|z|>|a|,$ transformata istnieje i jest równa:

$Z[x(n)]=\frac{1}{1-a{z}^{-1}}=\frac{z}{z-a}.$

Przykład 4

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego $u(n).$

Rozwiązanie

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

$u(n)=a^{n}u(n),$ gdzie $a=1,$

stąd:

$Z[u(n)]=\frac{z}{z-1}.$

Obszar zbieżności jest opisany nierównością $|z|>1.$

Powiązanie z transformatą Fouriera

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

$X(z)$ dla $z=e^{j\omega }$

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Zobacz też

• transformata z gwiazdką
• zmodyfikowana transformata Z

Inne:

• transformata Fouriera
• transformata Laplace'a

Bibliografia

• Jacek Wojciechowski, Sygnały i systemy, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008.
• Michał Tadeusiewicz, Signals and Systems, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.
• Przemysław Barański, Przekształcenie Z – zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.