Transformata z gwiazdką

Transformata z gwiazdką, transformata gwiazdkowana (ang. star transform, starred transform) – dyskretnoczasowa wersja transformaty Laplace’a reprezentująca idealny układ próbkujący z okresem $T.$

Transformata z gwiazdką podobna jest do transformaty Z ze zwykłą zamianą zmiennych, ale transformata z gwiazdką w sposób jawny identyfikuje każdą próbkę w wyrażeniach okresu próbkowania $T,$ podczas gdy transformata Z odnosi się tylko do każdej próbki poprzez wartość indeksu liczb całkowitych.

Nazwa transformata z gwiazdką powstała z uwagi na to, że w notacji tej transformaty (podobnie jak w przypadku notacji sygnału spróbkowanego) stosuje się bardzo często gwiazdkę.

Odwrotność transformaty z gwiazdką reprezentuje sygnał spróbkowany z okresem $T.$ Odwrotna transformata z gwiazdką nie jest oryginalnym sygnałem, ale zamiast tego spróbkowaną wersją sygnału oryginalnego.

Zależność pomiędzy poszczególnymi reprezentacjami można zapisać następująco:

$x(t)\to X^{*}(s)\to x^{*}(t).$

Definicja

Transformatę z gwiazdką formalnie można zdefiniować jako:

$X^{*}(s)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}x(kT)e^{-kTs},$

aby lepiej pokazać związek z transformatą Laplace’a powyższe równanie można też zapisać:

$F^{*}(s)={ℒ}^{*}[f(t)]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(kT)e^{-kTs}.$

Związek z transformatą Laplace’a

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Laplace’a można pokazać, biorąc residua transformaty Laplace’a danej funkcji:

$X^{*}(s)=\sum [\text{residua}X(\lambda )\frac{1}{1-e^{-T(s-\lambda )}}{]}_{\text{w miejscach biegunow}X(\lambda )}$

lub

$X^{*}(s)=\frac{1}{T}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(s+jm{\omega }_s)+\frac{x(0)}{2},$

gdzie ${\omega }_s$ to częstość kątowa próbkowania taka, że ${\omega }_s=\frac{2\pi }{T}.$

Związek z transformatą Z

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Z można pokazać poprzez następujące podstawienie zmiennych:

$z=e^{Ts}.$

Warto przy tym zauważyć, że w dziedzinie transformaty Z traci się informację o okresie próbkowania $T.$

Własności transformaty z gwiazdką

Własność 1

$X^{*}(s)$ jest okresowa na płaszczyźnie S z okresem $j{\omega }_s.$

$X^{*}(s+jm{\omega }_s)=X^{*}(s)$

Własność 2

Jeśli $X(s)$ ma biegun w punkcie $s=s_1,$ wówczas $X^{*}(s)$ ma bieguny dla $s=s_1+jm{\omega }_s,$ gdzie $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$